Question

已知A（0，0），B（4，0），C（0，3），過(guò)線段AB上點(diǎn)D作DG∥BC，交AB于D，交AC于G，過(guò)線段DG上的動(dòng)點(diǎn)P作NF∥AC，分別交AB于N，交BC于F．
（1）如圖1，若D是AB的中點(diǎn)，且PN=PG時(shí)，求PG的長(zhǎng)；
（2）如圖2，過(guò)P作ME∥AB，交AC于M，交BC于E，當(dāng)S_{四邊形ANPM}=S_{四邊形DBEP}=S_{四邊形PFCG}時(shí)，猜想四邊形EFMN的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，分別求出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）如圖3，當(dāng)四邊形ANPM、PFCG都是菱形時(shí)，作以P為圓心，以PM為半徑的⊙P，判斷⊙P分別與AB、BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理，可得BC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的中位線定理，可得DG的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)矩形的判定定理，可得答案；
（3）根據(jù)平行四邊的判定與性質(zhì)，可得AM=MG=GC═1，AN=ND=DB=

4

3

，可得點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；
（4）根據(jù)正方形的判定與性質(zhì)，可得AB是⊙P的切線，根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得BC是⊙P的切線．

解答：解：（1）BC=

AB2+AC2

=

42+32

=5，
∵DG∥BC，D是AB的中點(diǎn)，∴G是AC的中點(diǎn)，∴DG=

1

2

BC=

5

2

，設(shè)PN=PG=x，∵PF∥AC
∴△DPN∽△DGA，
∴

NP

AG

=

DP

DG

，
∴

x

3 2

=

5 2 -x

5 2

，解得x=

15

16

，
∴PG=

15

16

；
（2）四邊形EFMN是矩形，理由如下：
連接MN、NE、FM，

∴四邊形ANPM、DBEP、PFCG都是平行四邊形，
∵S_{四邊形ANPM}=S_{四邊形DBEP}=S_{四邊形PFCG}時(shí)
∴?ANPM、?DNEP、?PFCG兩兩等高，
∴EP=PM，PN=PF，
∴四邊形EFMN是平行四邊形，
在?ANPM中，∠BAC=90°，
∴?ANPM是矩形，
∴∠MPN=90°，即EM⊥FN，
∴?EFMN是矩形；

（3）∵四邊形EFMN是平行四邊形，
∴MN∥BC，
∵DG∥BC，
∴MN∥DG，
∵四邊形ANPM、PGMN、PFCG都是平行四邊形，
∴PN=AM，PN=GM，PF=GC．
∵PF=PN，
∴AM=MG=GC═1．
∴同理AN=ND=DB=

4

3

，

∴M(0，1)，N(

4

3

，0)；
（4）⊙P與AB、BC都相切，理由如下：
∵四邊形ANPM是菱形，∠BAC是直角，則四邊形ANPM是正方形，
∴PM=PN，∠PNA=90°，
∴AB是⊙P的切線．
連接PC，作PQ⊥BC垂足為Q，

∵四邊形PFCG是菱形，
∴CP平分∠FCG．
∴PM⊥AC，PQ⊥BC，
∴PM=PQ，
∴BC是⊙P的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題，利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，圓的切線的判定與性質(zhì)，稍微有點(diǎn)難度，須作出輔助線后解題．