Question

如圖，在正方形ABCD中，點P是CD邊上的點，連結(jié)BP，將△BCP繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCE，連結(jié)EP并延長，交AD于點F，連結(jié)BF、FC．
（1）證明△CEP是等腰直角三角形；
（2）若CD=2CP，證明：四邊形CEDF是平行四邊形；
（3）若CD=kCP（k是常數(shù)，k＞0），記△BPF的面積為s₁，△DEP的面積為s₂，證明：s₁=（k+1）s₂．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CE=CP，∠ECP=90°，然后根據(jù)等腰直角三角形的定義判定即可；
（2）求出CP=PD，再利用“角邊角”證明△CPE和△DPF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE=DF，然后根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；
（3）設(shè)CP=1，表示出CD=k，然后根據(jù)S₁=S_△BEF-S_△BEP利用三角形的面積公式列式整理，再表示出S₂，然后相比即可得解．

解答：解：（1）由于旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，CE=CP，∠ECP=90°，
∵△CEP是等腰直角三角形；

（2）∵CD=2CP，
∴CP=PD，
∵四邊形ABCD是正方形，AD∥BC，
∴∠FDP=∠ECP=90°，
在△CPE和△DPF中，

∠FDP=∠ECP=90° DP=CP ∠CPE=∠DPF

，
∴△CPE≌△DPF（ASA），
∴CE=DF，
又∵CE∥DF，
∴四邊形CEDF是平行四邊形；

（3）∵CD=kCP，
∴設(shè)CP=CE=1，則CD=k，
S₁=S_△BEF-S_△BEP，
=

1

2

（k+1）•k-

1

2

（k+1）•1，
=

1

2

（k+1）（k-1），
S₂=

1

2

DP•CE=

1

2

（k-1）•1，
∵

S1

S2

=

1 2 (k+1)(k-1)

1 2 (k-1)•1

=k+1，
∴s₁=（k+1）s₂．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，平行四邊形的判定，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．