Question

對于平面直角坐標系xOy中的點P（a，b），若點P′的坐標為（a+

b

k

，ka+b）（其中k為常數(shù)，且k≠0），則稱點P′為點P的“k屬派生點”．
例如：P（1，4）的“2屬派生點”為P′（1+

4

2

，2×1+4），即P′（3，6）．
（1）①點P（-1，-2）的“2屬派生點”P′的坐標為

 

；
②若點P的“k屬派生點”的坐標為P′（3，3），請寫出一個符合條件的點P的坐標

 

；
（2）若點P在x軸的正半軸上，點P的“k屬派生點”為P′點，且△OPP′為等腰直角三角形，則k的值為

 

；
（3）如圖，點Q的坐標為（0，4

3

），點A在函數(shù)y=-

4 3

x

（x＜0）的圖象上，且點A是點B的“-

3

屬派生點”，當線段BQ最短時，求B點坐標．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征,二次函數(shù)的最值,等腰直角三角形

專題：計算題,綜合題,新定義

分析：（1）①只需把a=-1，b=-2，k=2代入（a+

b

k

，ka+b）即可求出P′的坐標．
②由P′（3，3）可求出k=1，從而有a+b=3．任取一個a就可求出對應的b，從而得到符合條件的點P的一個坐標．
（2）設點P坐標為（a，0），從而有P′（a，ka），顯然PP′⊥OP，由條件可得OP=PP′，從而求出k．
（3）設點B的坐標為（m，n），從而表示出點A的坐標（m+

n

- 3

，-

3

m+n），由點A在函數(shù)y=-

4 3

x

（x＜0）的圖象上可得到m、n之間的關系n=

3

m+2

3

．然后將BQ²用m的代數(shù)式表示，根據(jù)二次函數(shù)的最值性，求出BQ最小時對應的m的值，從而求出對應的點B的坐標．

解答：解：（1）①當a=-1，b=-2，k=2時，
a+

b

k

=-1+

-2

2

=-2，ka+b=2×（-1）-2=-4．
∴點P（-1，-2）的“2屬派生點”P′的坐標為（-2，-4）．
故答案為：（-2，-4）．
②由題可得：

a+ b k =3 ka+b=3

∴ka+b=3k=3．
∴k=1．
∴a+b=3．
∴b=3-a．
當a=1時，b=2，此時點P的坐標為（1，2）．
故答案為：（1，2）．
說明：只要點P的橫坐標與縱坐標的和等于3即可．
（2）∵點P在x軸的正半軸上，
∴b=0，a＞0．
∴點P的坐標為（a，0），點P′的坐標為（a，ka）．
∴PP′⊥OP．
∵△OPP′為等腰直角三角形，
∴OP=PP′．
∴a=±ka．
∵a＞0，
∴k=±1．
故答案為：±1．
（3）設點B的坐標為（m，n），
∵點A是點B的“-

3

屬派生點”，
∴點A的坐標為（m+

n

- 3

，-

3

m+n），
∵點A在函數(shù)y=-

4 3

x

（x＜0）的圖象上，
∴（m+

n

- 3

）（-

3

m+n）=-4

3

，且m+

n

- 3

＜0．
整理得：（m+

n

- 3

）²=4．
∵m+

n

- 3

＜0，
∴m+

n

- 3

=-2．
∴n=

3

m+2

3

．
∴點B的坐標為（m，

3

m+2

3

）．
過點B作BH⊥OQ，垂足為H，如圖所示．
∵點Q的坐標為（0，4

3

），
∴QH²=（

3

m+2

3

-4

3

）²=（

3

m-2

3

）²，BH²=m²．
∴BQ²=BH²+QH²
=m²+（

3

m-2

3

）²
=4m²-12m+12
=4（m-

3

2

）²+3．
∵4＞0，
∴當m=

3

2

時，BQ²最小，即BQ最小．
此時n=

3

m+2

3

=

3 3

2

+2

3

=

7 3

2

．
∴當線段BQ最短時，B點坐標為（

3

2

，

7 3

2

）．

點評：本題考查了反比例圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形、二次函數(shù)的最值等知識，考查了新定義下的閱讀理解能力，有一定的綜合性．第（2）題中由OP=PP′得到a與ka之間的關系是本題的易錯點，需要注意；另外，第（3）題還可以用幾何方法解：由點B的坐標為（m，

3

m+2

3

）可知點B在直線y=

3

x+2

3

上運動，當QB垂直于該直線時，QB最短，借助于三角形相似即可求出QB最短時對應點B的坐標．