Question

如圖1，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=6cm，以AB為直徑作圓⊙O，動點P、Q分別同時從A、C出發(fā)，點P以1cm/s的速度向D移動，點Q以2cm/s的速度向B移動，點Q移動到B點時停止，點P也隨之停止．設(shè)運動時間為ts，求：
（1）當PQ⊥BC時，求t的值；
（2）如圖2，當PQ與⊙O相切時，求t的值；
（3）連接DQ，當△PDQ為等腰三角形時，直接寫出t的所有值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）由AP+CQ=6時得出t的值即可．
（2）設(shè)運動時間為ts，由AB²+（AP-QB）²=（AP+QB）²，列出t方程求解．
（3）分三種情況討論：①當QD=PD時，②當DQ=AQ時，③當AQ=PD時，分別列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵PQ⊥BC，
∴AP+CQ=6，
設(shè)運動時間為ts，由有AP=t，CQ=2t，
∴t+2t=6，解得t=2；

（2）如圖1，PG與圓相切于點F，設(shè)運動時間為ts，

∵PA與PF是⊙O的切線，QB與QF是⊙O的切線，
∴AP=PF，QB=QF，
∴AP=PF=t，QB=QF=6-2t，
∴AB²+（AP-QB）²=（AP+QB）²，即4²+（3t-6）²=（6-t）²，
解得t=1或2．
∴PQ與⊙O相切時，求t的值為1或2；

（3）①當QD=PD時，

(2t)2+42

=6-t，解得t=

4 6

3

-2或-

4 6

3

-2（舍去）．
②當DQ=PQ時，

(2t)2+42

=

(6-2t-t)2+42

，解得t=

6

5

或6（舍去），
③當PQ=PD時，

(6-2t-t)2+42

=6-t，解得t=1或2．
綜上所述t=

4 6

3

-2或

6

5

或1或2時，△PDQ為等腰三角形．

點評：本題主要考查了圓的綜合題，涉及圓的知識，方程及等腰三角形的性質(zhì)．難點是第三小問，解題的關(guān)鍵是分三種情況討論．