Question

一次函數(shù)y=kx+k過點(diǎn)（1，4），且分別與x軸、y軸交于A、B點(diǎn)，點(diǎn)P（a，0）在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q（0，b）在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，且PQ⊥AB．
（1）求k的值，并在直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)的圖象；
（2）求a、b滿足的等量關(guān)系式；
（3）若△APQ是等腰三角形，求△APQ的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由已知可得到其一次函數(shù)的解析式，從而求得A、B的坐標(biāo)，據(jù)此即可畫出一次函數(shù)的圖象；
（2）根據(jù)已知可證明Rt△ABO∽Rt△QPO，相似三角形的對應(yīng)邊成比例，從而可求得a、b滿足的等量關(guān)系式；
（3）已知△APQ是等腰三角形而沒有明確指出是哪兩邊相等，從而要分兩種情況進(jìn)行分析，分別是AQ=PQ或AP=PQ再根據(jù)面積公式即可求得△APQ的面積．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=kx+k的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，4），
∴4=k×1+k，
解得：k=2，
∴一次函數(shù)的解析式為：y=2x+2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=2，當(dāng)y=0時(shí)，x=-1，
即A（-1，0），B（0，2），
如圖，直線AB是一次函數(shù)y=2x+2的圖象；

（2）∵PQ⊥AB，
∴∠QPO=90°-∠BAO，
又∵∠ABO=90°-∠BAO，
∴∠ABO=∠QPO，
∵∠AOB=∠QOP=90°，
∴Rt△ABO∽Rt△QPO，
∴

AO

QO

=

OB

OP

，即

1

b

=

2

a

，
∴a=2b；

（3）由（2）知a=2b，
∴AP=AO+OP=1+a=1+2b，
∵AQ²=OA²+OQ²=1+b²，PQ²=OP²+OQ²=a²+b²=（2b）²+b²=5b²，
若AQ=PQ，即AQ²=PQ²，則1+b²=5b²，即b=

1

2

或b=-

1

2

（舍去），
此時(shí)，AP=2，OQ=

1

2

，S_△APQ=

1

2

×AP×OQ=

1

2

×2×

1

2

=

1

2

（平方單位），
若AP=PQ，則1+2b=

5

b，即b=2+

5

，
此時(shí)AP=1+2b=5+2

5

，OQ=2+

5

，
S_△APQ=

1

2

×AP×OQ=

1

2

×（5+2

5

）×（2+

5

）=10+

9 5

2

（平方單位），
若AQ=AP，則（a+1）²=1+b²，解得b=-

4

3

，因?yàn)辄c(diǎn)Q在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，故舍去；
∴△APQ的面積為

1

2

平方單位或（10+

9 5

2

）平方單位．

點(diǎn)評：此題考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度較大，綜合性很強(qiáng)，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．