Question

如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，1），直線y=kx+m的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A、C兩點(diǎn)，且A（0，2），直線與x軸的交點(diǎn)為B，滿足sin∠ABO=

5

5

，點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，且不與A，C兩點(diǎn)重合，PG∥y軸交拋物線于點(diǎn)G．
（1）求k，m和這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)E是直線BC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，當(dāng)△PGE∽△AOB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若PG=

21

16

時(shí)，另外一點(diǎn)F在拋物線上，當(dāng)S_△ACF=S_△ACG時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+1，把A的坐標(biāo)代入即可求得a，進(jìn)而求得拋物線的解析式，根據(jù)sin∠ABO=

5

5

，求得B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得k，m；
（2）先求得直線AB的解析式，設(shè)P（x，

1

2

x+2），然后求得E的坐標(biāo)，根據(jù)△PGE∽△AOB對(duì)應(yīng)邊成比例求得P的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得縱坐標(biāo)；
（3）分兩種情況討論求得；

解答：解：（1）∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，1），
∴設(shè)y=a（x-1）²+1，
∵A（0，2），
∴2=a+1，解得，a=1，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x+2，
∵A（0，2），sin∠ABO=

5

5

，
∴AB=2

5

，
∴BO=4，
∴B（-4，0），
代入y=kx+m得

2=m 0=-4k+m

解得

m=2 k= 1 2

（2）由（1）知

m=2 k= 1 2

∴y=

1

2

x+2，
∵點(diǎn)E是直線BC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，拋物線對(duì)稱軸是x=1，
y=

1

2

+2=

5

2

，
∴點(diǎn)E（1，

5

2

），
∵△PGE∽△AOB，
∴∠PGE=90°，
設(shè)P（x，

1

2

x+2），
∴PG=

1

2

x+2-（x²-2x+2）=-x²+

5

2

x，EG=x-1
∵AO=2，BO=4，
∴

AO

PG

=

BO

EG

∴

2

-x2+ 5 2 x，

=

4

x-1

，
解得：x=1+

6

2

，或x=1-

6

2

（舍去），
∴P（1+

6

2

，

10+ 6

4

）；

（3）設(shè)P（x，

1

2

x+2），
當(dāng)F在直線的下方時(shí)，PG=

1

2

x+2-（x²-2x+2）=-x²+

5

2

x，
所以-x²+

5

2

x=

21

16

，解得x₁=

3

4

，x₂=

7

4

，
把x₁=

3

4

，x₂=

7

4

，代入y=x²-2x+2，解得y₁=

17

16

，y₂=

25

16

，
所以F（

3

4

，

17

16

）或（

7

4

，

25

16

）；
當(dāng)F在直線的上方時(shí)，PG=x²-2x+2-（

1

2

x+2）=x²-

5

2

x，
所以x²-

5

2

x=

21

16

，解得：x₃=

5+ 46

4

，x₄=

5- 46

4

，
把x₃=

5+ 46

4

，x₄=

5- 46

4

代入y=x²-2x+2，解得：y₃=

63+2 46

16

，y₄=

63-2 46

16

；
所以F（

5+ 46

4

，

63+2 46

16

）或（

5- 46

4

，

63-2 46

16

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求拋物線的解析式，三角形相似的性質(zhì)，三角形的面積，方程思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．