Question

如圖，已知二次函數圖象的頂點坐標為D（1，1），直線y=kx+m的圖象與該二次函數的圖象交于A、C兩點，且A（0，2），直線與x軸的交點為B，滿足sin∠ABO=

5

5

，點P是線段AC上一動點，且不與A，C兩點重合，PG∥y軸交拋物線于點G．
（1）求k，m和這個二次函數的解析式；
（2）點E是直線BC與拋物線對稱軸的交點，當△PGE∽△AOB時，求點P的坐標；
（3）若PG=

21

16

時，另外一點F在拋物線上，當S_△ACF=S_△ACG時，求點F的坐標．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）根據拋物線的頂點設拋物線的解析式為y=a（x-1）²+1，把A的坐標代入即可求得a，進而求得拋物線的解析式，根據sin∠ABO=

5

5

，求得B的坐標，然后根據待定系數法即可求得k，m；
（2）先求得直線AB的解析式，設P（x，

1

2

x+2），然后求得E的坐標，根據△PGE∽△AOB對應邊成比例求得P的橫坐標，進而求得縱坐標；
（3）分兩種情況討論求得；

解答：解：（1）∵二次函數圖象的頂點坐標為D（1，1），
∴設y=a（x-1）²+1，
∵A（0，2），
∴2=a+1，解得，a=1，
∴二次函數的解析式為：y=x²-2x+2，
∵A（0，2），sin∠ABO=

5

5

，
∴AB=2

5

，
∴BO=4，
∴B（-4，0），
代入y=kx+m得

2=m 0=-4k+m

解得

m=2 k= 1 2

（2）由（1）知

m=2 k= 1 2

∴y=

1

2

x+2，
∵點E是直線BC與拋物線對稱軸的交點，拋物線對稱軸是x=1，
y=

1

2

+2=

5

2

，
∴點E（1，

5

2

），
∵△PGE∽△AOB，
∴∠PGE=90°，
設P（x，

1

2

x+2），
∴PG=

1

2

x+2-（x²-2x+2）=-x²+

5

2

x，EG=x-1
∵AO=2，BO=4，
∴

AO

PG

=

BO

EG

∴

2

-x2+ 5 2 x，

=

4

x-1

，
解得：x=1+

6

2

，或x=1-

6

2

（舍去），
∴P（1+

6

2

，

10+ 6

4

）；

（3）設P（x，

1

2

x+2），
當F在直線的下方時，PG=

1

2

x+2-（x²-2x+2）=-x²+

5

2

x，
所以-x²+

5

2

x=

21

16

，解得x₁=

3

4

，x₂=

7

4

，
把x₁=

3

4

，x₂=

7

4

，代入y=x²-2x+2，解得y₁=

17

16

，y₂=

25

16

，
所以F（

3

4

，

17

16

）或（

7

4

，

25

16

）；
當F在直線的上方時，PG=x²-2x+2-（

1

2

x+2）=x²-

5

2

x，
所以x²-

5

2

x=

21

16

，解得：x₃=

5+ 46

4

，x₄=

5- 46

4

，
把x₃=

5+ 46

4

，x₄=

5- 46

4

代入y=x²-2x+2，解得：y₃=

63+2 46

16

，y₄=

63-2 46

16

；
所以F（

5+ 46

4

，

63+2 46

16

）或（

5- 46

4

，

63-2 46

16

）

點評：本題考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：待定系數法求拋物線的解析式，三角形相似的性質，三角形的面積，方程思想的應用，綜合性較強，有一定的難度．