【題目】已知拋物線(xiàn)y=x2+(2m﹣1)x﹣2m(m>0.5)的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣4.
(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)如圖1,拋物線(xiàn)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,D為拋物線(xiàn)上的一點(diǎn),BD平分四邊形ABCD的面積,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)如圖2,平移拋物線(xiàn)y=x2+(2m﹣1)x﹣2m,使其頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)y=﹣2上有一動(dòng)點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作兩條直線(xiàn),分別與拋物線(xiàn)有唯一的公共點(diǎn)E、F(直線(xiàn)PE、PF不與y軸平行),求證:直線(xiàn)EF恒過(guò)某一定點(diǎn).
【答案】(1)y=x2+2x﹣3;(2)D(﹣,﹣);(3)見(jiàn)解析
【解析】
(1)先求出頂點(diǎn)坐標(biāo),由最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣4,可列方程,即可求解;
(2)連AC交BD于E,過(guò)A作AM⊥BD于M,過(guò)C作CN⊥BD于N,由三角形面積關(guān)系和全等三角形的性質(zhì)可求點(diǎn)E坐標(biāo),可求BD解析式,即可求點(diǎn)D坐標(biāo);
(3)設(shè)E(t,t2),F(n,n2),可求PE解析式,由與拋物線(xiàn)有唯一的公共點(diǎn),可求k1=2t,即可求點(diǎn)P橫坐標(biāo),可得tn=﹣2,設(shè)直線(xiàn)EF的解析式為y=kx+b,得x2﹣kx﹣b=0,可求b=2,即可得直線(xiàn)EF恒過(guò)定點(diǎn)(0,2).
解:(1)∵y=x2+(2m﹣1)x﹣2m=(x+m﹣0.5)2﹣m2﹣m﹣0.25,
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0.5﹣m,﹣m2﹣m﹣0.25)
∵最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣4,
∴﹣m2﹣m﹣0.25=﹣4,即4m2+4m﹣15=0,
∴m=1.5或﹣2.5,
∵m>0.5,∴m=1.5.
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x2+2x﹣3;
(2)∵y=x2+2x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,
∴A(﹣3,0),B(1,0),C(0,﹣3).
如圖,連AC交BD于E,過(guò)A作AM⊥BD于M,過(guò)C作CN⊥BD于N,
∵BD平分四邊形ABCD的面積,
∴S△ABD=S△CBD,
∴BD×AM=BD×CN,
∴AM=CN,且∠AEM=∠CMN,∠AME=∠CNE=90°
∴△AEM≌△CEN(AAS),
∴AE=CE,
∴E(﹣1.5,﹣1.5),且B(1,0),
∴直線(xiàn)BE的解析式為y=0.6x﹣0.6.
∴0.6x﹣0.6=x2+2x﹣3,
解得x1=﹣,x2=1,
∴D(﹣,﹣).
(3)由題意可得平移后解析式為y=x2,
設(shè)E(t,t2),F(n,n2),
設(shè)直線(xiàn)PE為y=k1(x﹣t)+t2,
由題意可得 x2﹣k1x+k1t﹣t2=0,
∴△=k12﹣4(k1t﹣t2)=(k1﹣2t)2=0,
∴k1=2t.
∴直線(xiàn)PE為y=2t(x﹣t)+t2,即y=2tx﹣t2.
令y=﹣2,得xP=,
同理,設(shè)直線(xiàn)PF為y=k2(x﹣n)+n2,
∴xP=,
∴=,
∵t≠n,
∴tn=﹣2.
設(shè)直線(xiàn)EF的解析式為y=kx+b,得x2﹣kx﹣b=0,
∴xExF=﹣b,即tn=﹣b,
∴b=2.
∴直線(xiàn)EF為y=kx+2,過(guò)定點(diǎn)(0,2).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC在平面直角坐標(biāo)系中,∠ACB=90°,AC=BC,A的坐標(biāo)是(0,m)(m<0),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,0),點(diǎn)B在x軸上方.
(1)如圖1所示,若點(diǎn)B在y軸上,則m的值是 ;
(2)如圖2所示,BC與y軸交于點(diǎn)D.
①若m=﹣6,求點(diǎn)B的坐標(biāo);
②若y軸恰好平分∠BAC,求OD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校學(xué)生會(huì)準(zhǔn)備調(diào)查六年級(jí)學(xué)生參加“武術(shù)類(lèi)”、“書(shū)畫(huà)類(lèi)”、“棋牌類(lèi)”、“器樂(lè)類(lèi)”四類(lèi)校本課程的人數(shù).
(1)確定調(diào)查方式時(shí),甲同學(xué)說(shuō):“我到六年級(jí)(1)班去調(diào)查全體同學(xué)”;乙同學(xué)說(shuō):“放學(xué)時(shí)我到校門(mén)口隨機(jī)調(diào)查部分同學(xué)”;丙同學(xué)說(shuō):“我到六年級(jí)每個(gè)班隨機(jī)調(diào)查一定數(shù)量的同學(xué)”.請(qǐng)指出哪位同學(xué)的調(diào)查方式最合理.
類(lèi)別 | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
武術(shù)類(lèi) | 0.25 | |
書(shū)畫(huà)類(lèi) | 20 | 0.20 |
棋牌類(lèi) | 15 | b |
器樂(lè)類(lèi) | ||
合計(jì) | a | 1.00 |
(2)他們采用了最為合理的調(diào)查方法收集數(shù)據(jù),并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)你根據(jù)以上圖表提供的信息解答下列問(wèn)題:
①a=_____,b=_____;
②在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,器樂(lè)類(lèi)所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)是_____;
③若該校六年級(jí)有學(xué)生560人,請(qǐng)你估計(jì)大約有多少學(xué)生參加武術(shù)類(lèi)校本課程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)O為正方形ABCD的中心,BE平分∠DBC交DC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F,使FC=EC,連結(jié)DF交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H,連結(jié)OH交DC于點(diǎn)G,連結(jié)HC.則以下四個(gè)結(jié)論中:①OH∥BF,②GH=BC,③OD=BF,④∠CHF=45°。正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】南洞庭大橋是南益高速公路上的重要橋梁,小芳同學(xué)在校外實(shí)踐活動(dòng)中對(duì)此開(kāi)展測(cè)量活動(dòng).如圖,在橋外一點(diǎn)A測(cè)得大橋主架與水面的交匯點(diǎn)C的俯角為α,大橋主架的頂端D的仰角為β,已知測(cè)量點(diǎn)與大橋主架的水平距離AB=a,則此時(shí)大橋主架頂端離水面的高CD為( )
A.asinα+asinβB.acosα+acosβC.atanα+atanβD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)B在函數(shù)y=x圖象上,點(diǎn)A在x軸的正半軸上,等腰直角三角形BCD的頂點(diǎn)C在AB上,點(diǎn)D在函數(shù)y=第一象限的圖象上若△OAB與△BCD面積的差為2,則k的值為( 。
A.8B.4C.2D.1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】探究:如圖①,直線(xiàn)l1∥l2,點(diǎn)A、B在直線(xiàn)l1上,點(diǎn)C、D在直線(xiàn)l2上,記△ABC的面積為S1,△ABD的面積為S2,求證:S1=S2.
拓展:如圖②,E為線(xiàn)段AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),BE>AB,正方形ABCD、正方形BEFG均在直線(xiàn)AB同側(cè),求證:△DEG的面積是正方形BEFG面積的一半.
應(yīng)用:如圖③,在一條直線(xiàn)上依次有點(diǎn)A、B、C、D,正方形ABIJ、正方形BCGH、正方形CDEF均在直線(xiàn)AB同側(cè),且點(diǎn)F、H分別是邊CG、BI的中點(diǎn),若正方形CDEF的面積為l,則△AGI的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn),交軸于點(diǎn)是直線(xiàn)下方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)連接,是否存在點(diǎn),使面積最大,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,BC=kAC,點(diǎn)D在AC上,連接BD.
(1)如圖1,當(dāng)k=1時(shí),BD的延長(zhǎng)線(xiàn)垂直于AE,垂足為E,延長(zhǎng)BC、AE交于點(diǎn)F.求證:CD=CF;
(2)過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BD,垂足為G,連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H.
①如圖2,若CH=CD,探究線(xiàn)段AG與GH的數(shù)量關(guān)系(用含k的代數(shù)式表示),并證明;
②如圖3,若點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),直接寫(xiě)出cos∠CGH的值(用含k的代數(shù)式表示).
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