Question

如圖，在矩形ABCD，AB=

2

BC，BE平分∠ABC，交CD于E點(diǎn)，AF⊥BE于點(diǎn)F，連接CF交AD于H點(diǎn)，連接AE交CH于G，則下列結(jié)論：
（1）AG=FG；（2）若BC=

2

，則DH=2

2

-2；
其中正確的個數(shù)有

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）先求得△ABF和△BCE是等腰直角三角形，得出BE=

2

BC，AB=

2

AF=

2

BF，結(jié)合已知得出△ABE和△FBC是等腰三角形，進(jìn)而求得∠GAF=∠GFA=22.5°，即可證得AG=FG；
（2）根據(jù)已知得出AF=BF=BC=

2

，AB=DC=2，進(jìn)而求得EF=2-

2

，再求得∠DCH=∠FAE=22.5°，由于∠HDC=∠EFA=90°，從而證得△HDC∽△EFA，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得DH．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠ABC=90°
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠BEC=45°，
∵AF⊥BE，
∴△ABF和△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=

2

BC，AB=

2

AF=

2

BF，
∵AB=

2

BC，
∴AF=BF=BC，AB=BE，
∴△ABE和△FBC是等腰三角形，
∴∠BAE=∠BEA=∠BFC=∠BCF=67.5°，
∴∠GAF=67.5°-45°=22.5°，∠GFA=∠FCB+∠FBC-90°=67.5°+45°-90°=22.5°，
∴∠GAF=∠GFA，
∴AG=FG，故（1）正確；

（2）∵AB=

2

BC，BC=

2

，
∴AF=BF=BC=

2

，AB=DC=2，
∴BE=AB=2，
∴EF=2-

2

，
∵∠BCF=67.5°，
∴∠DCH=90°-67.5°=22.5°，
∴∠DCH=∠FAE，
∵∠HDC=∠EFA=90°，
∴△HDC∽△EFA，
∴

DH

EF

=

DC

AF

，
即

DH

2- 2

=

2

2

，解得，DH=2

2

-2，故（2）正確；
故答案為：兩個．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形相似的判定和性質(zhì)，通過角的度數(shù)相等求得角相等是本題的關(guān)鍵．