【題目】如圖,以 為原點的直角坐標(biāo)系中, 點的坐標(biāo)為(0, 1),直線 交軸于點. 為線段上一動點,作直線,交直線于點. 過點作直線平行于軸,交軸于點 ,交直線于點.
(1)當(dāng)點在第一象限時,求證:;
(2)當(dāng)點在第一象限時,設(shè)長為,四邊形的面積為,請求出與間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
(3)當(dāng)點在線段上移動時,點也隨之在直線上移動,是否可能成為等腰三角形?如果可能,求出所有能使成為等腰直角三角形的點的坐標(biāo);如果不可能,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)S=m2﹣m+1(0<m<);(3)使△PBC成為等腰三角形的點P的坐標(biāo)為(0,1)或(,1﹣).
【解析】
(1)由題意可得△OAB為等腰直角三角形,因為MN∥OB,易得△AMP也是等腰直角三角形,進(jìn)而可得OM=PN,再根據(jù)∠OPC=90°,同角的余角相等可得∠MOP=∠NPC,則通過“角邊角”即可得證;
(2)設(shè)長為,根據(jù)題意可用m表示出AM、MP、OM等的長,再根據(jù)S=S矩OBNM﹣2S△POM即可得到S與m的函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)C再第一象限,得出CN的取值范圍,進(jìn)而得到m的取值范圍;
(3)分兩種情況進(jìn)行討論:當(dāng)C在第一象限時,要使△PCB為等腰三角形,那么PC=CB,∠PBC=45°,此時P與A重合,則可得P點坐標(biāo);當(dāng)C在第四象限時,PB=BC,在等腰直角三角形PBN中,用m表示出BP的長,進(jìn)而得到BC的長,由(1)可得MP=NC,則可列出關(guān)于m的方程,求得m的值,進(jìn)而得到P點坐標(biāo).
(1)∵OM∥BN,MN∥OB,∠AOB=90°,
∴四邊形OBNM為矩形,
∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=90°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=45°,
∴∠APM=∠ABO=45°,
∴∠MAP=∠MPA=45°,
∴AM=PM,
∴OM=AO﹣AM,PN=OB﹣PM,即OM=PN,
又∵∠OPC=90°,
∴∠MPO+∠NPC=90°,
∵∠MPO+∠MOP=90°,
∴∠MOP=∠NPC,
∴(ASA);
(2)設(shè)長為,四邊形的面積為,
∵AM=PM=APsin45°=m,
∴OM=1﹣m,
∴S=S矩OBNM﹣2S△POM=(1﹣m)﹣2×(1﹣m)·m
=m2﹣m+1(0<m<);
(3)△PBC可能為等腰三角形.
①當(dāng)P與A重合時,PC=BC=1,此時P(0,1);
②當(dāng)C在第四象限,且PB=CB時,有BN=PN=1﹣m,
∴BC=PN=PN=﹣m,
∴NC=BN+BC=1﹣m+﹣m,
由(1)可得:NC=PM=m,
∴1﹣m+﹣m=m,
解得m=1,
∴PM=,BN=1﹣,
∴P(,1﹣);
由題意可知PC=PB不成立,
則使△PBC成為等腰三角形的點P的坐標(biāo)為(0,1)或(,1﹣).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線和拋物線相交于點、(點在點的左側(cè)),是拋物線上段的一點(點不與、重合),過點作軸的垂線交拋物線于點,以為邊向右側(cè)作正方形.設(shè)點的橫坐標(biāo)為,當(dāng)正方形的四個頂點分別落在四個不同象限時,的取值范圍是__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,AC是對角線,點P為矩形外一點且滿足AP=PC,AP⊥PC,PC交AD于點N,連接DP,過點P作PM⊥PD交AD于M.
(1)若AP=5,AB=BC,求矩形ABCD的面積;
(2)若CD=PM,試判斷線段AC、AP、PN之間的關(guān)系,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某課桌生產(chǎn)廠家研究發(fā)現(xiàn),傾斜12°~24°的桌面有利于學(xué)生保持軀體自然姿勢.根據(jù)這一研究,廠家決定將水平桌面做成可調(diào)節(jié)角度的桌面.新桌面的設(shè)計圖如圖1,AB可繞點A旋轉(zhuǎn),在點C處安裝一根可旋轉(zhuǎn)的支撐臂CD,AC=30 cm.
(1)如圖2,當(dāng)∠BAC=24°時,CD⊥AB,求支撐臂CD的長;
(2)如圖3,當(dāng)∠BAC=12°時,求AD的長.(結(jié)果保留根號)
(參考數(shù)據(jù):sin 24°≈0.40,cos 24°≈0.91,tan 24°≈0.46,sin 12°≈0.20)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=,E是AD邊上的一點(點E與點A和點D不重合),BE的垂直平分線交AB于點M,交DC于點N.
(1)證明:MN = BE.
(2)設(shè)AE=,四邊形ADNM的面積為S,寫出S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當(dāng)AE為何值時,四邊形ADNM的面積最大?最大值是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明的書包里只放了A4大小的試卷共4張,其中語文1張、數(shù)學(xué)2張、英語1張
若隨機(jī)地從書包中抽出2張,求抽出的試卷中有英語試卷的概率.
若隨機(jī)地從書包中抽出3張,抽出的試卷中有英語試卷的概率為______
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,一艘輪船在近海處由西向東航行,點C處有一燈塔,燈塔附近30海里的圓形區(qū)域內(nèi)有暗礁,輪船在A處測得燈塔在北偏東60°方向上,輪船又由A向東航行40海里到B處,測得燈塔在北偏東30°方向上.
(1)求輪船在B處時到燈塔C處的距離是多少?
(2)若輪船繼續(xù)向東航行,有無觸礁危險?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Q是弧AB與弦AB所圍成的圖形的內(nèi)部的一定點,P是弦AB上一動點,連接PQ并延長交弧AB于點C,連接BC.已知AB=6cm,設(shè)A,P兩點間的距離為xcm,P,C兩點間的距離為y1cm,A,C兩點間的距離為y2cm.
小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,分別對函數(shù)y1,y2,隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.
下面是小明的探究過程,請補(bǔ)充完整:
(1)確定自變量x的取值范圍是 .
(2)按下表中自變量x的值進(jìn)行取點、畫圖、測量,分別得到了y1,y2與x的幾組對應(yīng)值.
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y1/cm | 5.62 | 4.67 | 3.76 | 2.65 | 3.18 | 4.37 | |
y2/cm | 5.62 | 5.59 | 5.53 | 5.42 | 5.19 | 4.73 | 4.11 |
(3)在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中,描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(x,y1),(x,y2),并面出函數(shù)y1,y2的圖象.
(4)結(jié)合函數(shù)圖象,解決問題:當(dāng)△APC為等腰三角形時,AP的長度約為 cm.
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