Question

如圖，O是正方形ABCD的中心，在正方形ABCD的邊BC上任取一點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥DM，交AB于點(diǎn)N，連接OM、ON．求證：
（1）OM=ON；
（2）OM⊥ON．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連接AC，BD，易證∠BNC=∠CMD，即可證明△BCN≌△CDM，可得CM=BN，進(jìn)而可以證明△OCM≌△OBN，即可解題；
（2）根據(jù)△OCM≌△OBN，可得∠COM=∠BON，根據(jù)∠COM+∠BOM=90°即可解題．

解答：證明：連接AC，BD，

（1）∵∠BCN+∠CMD=90°，∠BCN+∠BNC=90°，
∴∠BNC=∠CMD，
在△BCN和△CDM中，

∠CMD=∠BNC ∠DCM=∠CBN CD=CB

，
∴△BCN≌△CDM（AAS），
∴CM=BN，
在△OCM和△OBN中，

OC=OB ∠OCM=∠OBN CM=BN

，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM=ON；
（2）∵△OCM≌△OBN，
∴∠COM=∠BON，
∵∠COM+∠BOM=90°，
∴∠BON+∠BOM=90°，
∴OM⊥ON．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BCN≌△CDM和△OCM≌△OBN是解題的關(guān)鍵．