Question

如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上，且∠BCF=∠A．
（1）求證：直線CF是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，DB=4．求sin∠D的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠FCB+∠OCB=90°，進(jìn)而得出即可；
（2）利用圓周角定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sinD=sinA=

BC

AB

求出即可．

解答：（1）證明：連接CO，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OA=CO=OB，
∴∠A=∠OCA，∠OCB=∠OBC，
∴∠A+∠OCB=90°，
又∵∠BCF=∠A，
∴∠FCB+∠OCB=90°，
∴直線CF是⊙O的切線；

（2）解：∵⊙O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E，
∴BC=BD，
∵⊙O的半徑為5，DB=4，
∴AB=10，BC=4，
∵

BC

=

BC

，
∴∠A=∠D，
∴sinD=sinA=

BC

AB

=

4

10

=

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定以及圓周角定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，得出sinD=sinA是解題關(guān)鍵．