Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過A（-3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C，其頂點為D，對稱軸是直線l，l與x軸交于點H．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求△PBC周長的最小值；
（3）若E是線段AD上的一個動點（E與A，D不重合），過E點作平行于y軸的直線交拋物線于F，交x軸于點G，設點E的橫坐標為m，△ADF的面積為S．
①求S與m的函數(shù)關(guān)系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）因為BC為定值，所以當PB+PC最小時，△PBC的周長最�。�
如答圖1所示，連接AC交l于點P，由軸對稱性質(zhì)可知，此點P即為所求；
（3）如答圖2所示，
①首先根據(jù)題意，求出點E、F的坐標，然后利用S=S_△AEF+S_△DEF=

1

2

EF•AH，求出S與m的函數(shù)關(guān)系式；
②根據(jù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的極值，求出最大值及點E的坐標．

解答：解：（1）由題意可知：

9a-3b+3=0 a+b+3=0

，解得：

a=-1 b=-2

，
∴拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3．

（2）∵y=-x²-2x+3，∴C（0，3）．
∵△PBC的周長為：PB+PC+BC，BC是定值，
∴當PB+PC最小時，△PBC的周長最小．

如答圖1所示，點A、B關(guān)于對稱軸l對稱，連接AC交l于點P，則點P為所求的點．
∵AP=BP，
∴△PBC周長的最小值是：PB+PC+BC=AC+BC．
∵A（-3，0），B（1，0），C（0，3），
∴AC=3

2

，BC=

10

．
∴△PBC周長的最小值是：3

2

+

10

．

（3）如答圖2，

①∵拋物線y=-x²-2x+3的頂點D坐標為（-1，4），A（-3，0），
∴直線AD的解析式為：y=2x+6．
∵點E的橫坐標為m，
∴E（m，2m+6），F(xiàn)（m，-m²-2m+3）
∴EF=-m²-2m+3-（2m+6）=-m²-4m-3．
∴S=S_△AEF+S_△DEF
=

1

2

EF•AG+

1

2

EF•GH=

1

2

EF•AH
=

1

2

×（-m²-4m-3）×2
=-m²-4m-3；
②S=-m²-4m-3=-（m+2）²+1
∴當m=-2時，S最大，最大值為1．此時點E的坐標為（-2，2）．

點評：本題是二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圖形面積計算、軸對稱-最短路線等知識點，題目較為典型．