Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠ACB的平分線CD交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線PD，交CA的延長線于點F，過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F．
（1）求證：PD∥AB；
（2）求證：DE=BF；
（3）若AC=6，tan∠CAB=

4

3

，求線段PC的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連結(jié)OD，由AB為⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理得AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，再由ACD=∠BCD=45°，則∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB為等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB；
（2）利用角的關(guān)系得出∠FBD=∠EDA，進(jìn)而得出△FBD≌△EDA，即可得出DE=BF；
（3）在Rt△ACB中，利用AC=6，tan∠CAB=

4

3

，可得BC=8，再利用勾股定理得出AB=10，由△DAB為等腰直角三角形，可得AD=5

2

，由AE⊥CD，得出△ACE為等腰直角三角形，得出AE=CE=3

2

，在Rt△AED中，可得DE=4

2

，得出CD=7

2

，由角的關(guān)系得出△PDA∽△PCD，利用比例式可得出PA=

5

7

PD，PC=

7

5

PD，由PC=PA+AC，可求得PD=

35

4

，即可得出 PC的值．

解答：證明：（1）連結(jié)OD，如圖，

∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB的平分線交⊙O于點D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠ABD=45°，
∴△DAB為等腰直角三角形，
∴DO⊥AB，
∵PD為⊙O的切線，
∴OD⊥PD，
∴DP∥AB；
（2）∵AE⊥CD于點E，BF⊥CD，
∴AE∥BF，
∴∠FBO=∠EAO，
∵△DAB為等腰直角三角形，
∴∠FBD+∠EAD=90°，
∵∠EDA+∠∠EAD=90°，
∴∠FBD=∠EDA
在△FBD和△EDA中，

∠BFD=∠DEA ∠FBD=∠EDA BD=DA

，
∴△FBD≌△EDA（AAS）
∴DE=BF．
（3）在Rt△ACB中，
∵AC=6，tan∠CAB=

4

3

，
∴BC=6×

4

3

=8，
∴AB=

AC2+BC2

=

62+82

=10，
∵△DAB為等腰直角三角形，
∴AD=

AB

2

=5

2

，
∵AE⊥CD，
∴△ACE為等腰直角三角形，
∴AE=CE=

AC

2

=

6

2

=3

2

，
在Rt△AED中，DE=

AD2-AE2

=4

2

，
∴CD=CE+DE=3

2

+4

2

=7

2

，
∵AB∥PD，
∴∠PDA=∠DAB=45°，
∴∠PDA=∠PCD，
又∵∠DPA=∠CPD，
∴△PDA∽△PCD，
∴

PD

PC

=

PA

PD

=

AD

CD

=

5 2

7 2

，
∴PA=

5

7

PD，PC=

7

5

PD，
又∵PC=PA+AC，
∴

5

7

PD+6=

7

5

PD，解得PD=

35

4

，
∴PC=

5

7

PD+6=

5

7

×

35

4

+6=

25

4

+6=

49

4

．

點評：本題主要考查了圓的綜合題，切線的性質(zhì)，三角形全等及相似的知識，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形得出邊的關(guān)系，再列出算式求解．