【題目】如圖,已知△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,P、Q是△ABC邊上的兩個動點,其中點P從點A開始沿A→B方向運動,且速度為每秒1cm,點Q從點B開始沿B→C→A方向運動,且速度為每秒2cm,它們同時出發(fā),設出發(fā)的時間為t秒.
(1)出發(fā)2秒后,求PQ的長;
(2)從出發(fā)幾秒鐘后,△PQB第一次能形成等腰三角形?
(3)當點Q在邊CA上運動時,求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間.

【答案】
(1)解:BQ=2×2=4cm,

BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm,

∵∠B=90°,

PQ= = = =2


(2)解:BQ=2t,

BP=8﹣t

2t=8﹣t,

解得:t=


(3)解:①當CQ=BQ時(圖1),則∠C=∠CBQ,

∵∠ABC=90°,

∴∠CBQ+∠ABQ=90°,

∠A+∠C=90°,

∴∠A=∠ABQ,

∴BQ=AQ,

∴CQ=AQ=5,

∴BC+CQ=11,

∴t=11÷2=5.5秒.

②當CQ=BC時(如圖2),則BC+CQ=12

∴t=12÷2=6秒.

③當BC=BQ時(如圖3),過B點作BE⊥AC于點E,

則BE= =

所以CE= ,

故CQ=2CE=7.2,

所以BC+CQ=13.2,

∴t=13.2÷2=6.6秒.

由上可知,當t為5.5秒或6秒或6.6秒時,

△BCQ為等腰三角形.


【解析】(1)根據(jù)點P、Q的運動速度求出AP,再求出BP和BQ,用勾股定理求得PQ即可;(2)設出發(fā)t秒鐘后,△PQB能形成等腰三角形,則BP=BQ,由BQ=2t,BP=8﹣t,列式求得t即可;(3)當點Q在邊CA上運動時,能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間有三種情況:①當CQ=BQ時(圖1),則∠C=∠CBQ,可證明∠A=∠ABQ,則BQ=AQ,則CQ=AQ,從而求得t;②當CQ=BC時(如圖2),則BC+CQ=12,易求得t;③當BC=BQ時(如圖3),過B點作BE⊥AC于點E,則求出BE,CE,即可得出t.

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