Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，BC=5，O為△ABC的內(nèi)心，若OC=

2

，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：

分析：如圖，首先作出輔助線，求出CE的長(zhǎng)度；運(yùn)用切線的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求出AF的長(zhǎng)問題即可解決．

解答：解：如圖，連接OD、OE；
∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，
∴OD⊥AC，OE⊥BC；
又∵∠C=90°，OD=OE（設(shè)為r），
∴四邊形ODCE為正方形；
∴r2+r2=(

2

)2，
即r=1；
∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，
∴AD=AF（設(shè)為x），BE=BF（設(shè)為y），
則AC=x+1，BC=y+1，AB=x+y；
由勾股定理得：（x+y）²=（x+1）²+（y+1）²，
∴xy=x+y+1，
∵y+1=5，
∴y=4，x=

5

3

，
∴AB=x+y=

17

3

，
即AB的長(zhǎng)為

17

3

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用切線的性質(zhì)及勾股定理來分析、判斷、推理、證明．