Question

【題目】綜合與探究

如圖1所示，直線y=x+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，C．

（1）求拋物線的解析式

（2）點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，求CE+OE的最小值；

（3）如圖2所示，M是線段OA的上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點(diǎn)P、N

①若以C，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，則△CPN的面積為　 　；

②若點(diǎn)P恰好是線段MN的中點(diǎn)，點(diǎn)F是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)D，F(xiàn)，P，M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

注：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，）

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）CE+OE的最小值為5；（3）或4；存在，當(dāng)PF=FM時(shí)，點(diǎn)D在MN垂直平分線上，則D（）；當(dāng)PM=PF時(shí)，由菱形性質(zhì)點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1+，）（﹣1﹣，﹣）；當(dāng)MP=MF時(shí)，M、D關(guān)于直線y=﹣x+4對(duì)稱，點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣4，3）.

【解析】

（1）把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式；

（2）取點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線l的對(duì)稱點(diǎn)C′，由兩點(diǎn)之間線段最短，最小值可得；

（3）①由已知，注意相似三角形的分類討論．

②設(shè)出M坐標(biāo)，求點(diǎn)P坐標(biāo)．注意菱形是由等腰三角形以底邊所在直線為對(duì)稱軸對(duì)稱得到的．本題即為研究△CPN為等腰三角形的情況．

解：（1）將A（﹣4，0）代入y=x+c

∴c=4

將A（﹣4，0）和c=4代入y=﹣x2+bx+c

∴b=﹣3

∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣3x+4

（2）做點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線l的對(duì)稱點(diǎn)C′，連OC′，交直線l于點(diǎn)E．

連CE，此時(shí)CE+OE的值最�。�

∵拋物線對(duì)稱軸位置線x=﹣

∴CC′=3

由勾股定理OC′=5

∴CE+OE的最小值為5

（3）①當(dāng)△CNP∽△AMP時(shí)，

∠CNP=90°，則NC關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱

∴NC=NP=3

∴△CPN的面積為

當(dāng)△CNP∽△MAP時(shí)

由已知△NCP為等腰直角三角形，∠NCP=90°

過點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（a，0）

∴EP=EC=﹣a，

則N為（a，﹣a2﹣3a+4），MP=﹣a2﹣3a+4﹣（﹣2a）=﹣a2﹣a+4

∴P（a，﹣a2﹣a+4）

代入y=x+4

解得a=﹣2

∴△CPN的面積為4

故答案為：或4

②存在

設(shè)M坐標(biāo)為（a，0）

則N為（a，﹣a2﹣3a+4）

則P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，）

把點(diǎn)P坐標(biāo)代入y=﹣x+4

解得a1=﹣4（舍去），a2=﹣1

當(dāng)PF=FM時(shí)，點(diǎn)D在MN垂直平分線上，則D（，）

當(dāng)PM=PF時(shí)，由菱形性質(zhì)點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1+，）（﹣1﹣，﹣）

當(dāng)MP=MF時(shí)，M、D關(guān)于直線y=﹣x+4對(duì)稱，點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣4，3）