Question

已知：在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm，AB=8cm，D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的中點(diǎn)．若P為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ∥BC，且交AC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊，在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形PQMN，記正方形PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為y．當(dāng)y=2cm²時(shí)，試確定點(diǎn)P的位置．

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：設(shè)AP=xcm，含x的代數(shù)式表示y（cm²），求出y和x的函數(shù)關(guān)系式，要分四種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)N在D點(diǎn)或D點(diǎn)左側(cè)時(shí)，當(dāng)正方形PQMN的邊MN與矩形EDBF的邊ED重合時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)可得出x=

8

3

，即0＜x≤

8

3

時(shí)，此時(shí)正方形與矩形沒(méi)有重合，因此y=0；
②當(dāng)N在D點(diǎn)右側(cè)，而P點(diǎn)在D點(diǎn)左側(cè)或與D點(diǎn)重合時(shí)，即

8

3

＜x≤4，此時(shí)正方形與矩形重合的面積應(yīng)該是以DN為長(zhǎng)，NM為寬的矩形，DN=PN-PD=PN-（AD-AP）=x-（4-

1

2

x）=

3

2

x-4．而NM=PQ=

1

2

x，因此重合部分的面積應(yīng)該是y=（

3

2

x-4）×

1

2

x=

3

4

x²-2x；
③當(dāng)P在D點(diǎn)右側(cè)，而N點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)或與B點(diǎn)重合時(shí)，即4＜x≤

16

3

時(shí)，此時(shí)正方形重合部分的面積應(yīng)該是以正方形邊長(zhǎng)為長(zhǎng)，DE為寬的矩形的面積，PN=

1

2

x，DE=2，因此此時(shí)重合部分的面積是y=

1

2

x×2=x；
④當(dāng)P在B左側(cè)時(shí)，而N點(diǎn)在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，即

16

3

＜x＜8時(shí)，此時(shí)重合部分的面積應(yīng)該是以DE長(zhǎng)為寬，PA長(zhǎng)為長(zhǎng)的矩形的面積．BP=AB-AP=8-x，BF=DE=2，因此此時(shí)重合部分的面積應(yīng)該是y=（8-x）×2=16-2x．再把將y=2代入（2）的式子中，看看求出的x哪個(gè)符合條件即可．

解答：解：設(shè)AP=xcm，則
①當(dāng)N在D點(diǎn)或D點(diǎn)左側(cè)時(shí)，當(dāng)正方形PQMN的邊MN與矩形EDBF的邊ED重合時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)可得出x=

8

3

，即0＜x≤

8

3

時(shí)，此時(shí)正方形與矩形沒(méi)有重合，因此y=0；
②當(dāng)N在D點(diǎn)右側(cè)，而P點(diǎn)在D點(diǎn)左側(cè)或與D點(diǎn)重合時(shí)，即

8

3

＜x≤4，此時(shí)正方形與矩形重合的面積應(yīng)該是以DN為長(zhǎng)，NM為寬的矩形，DN=PN-PD=PN-（AD-AP）=x-（4-

1

2

x）=

3

2

x-4．而NM=PQ=

1

2

x，因此重合部分的面積應(yīng)該是y=（

3

2

x-4）×

1

2

x=

3

4

x²-2x；
③當(dāng)P在D點(diǎn)右側(cè)，而N點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)或與B點(diǎn)重合時(shí)，即4＜x≤

16

3

時(shí)，此時(shí)正方形重合部分的面積應(yīng)該是以正方形邊長(zhǎng)為長(zhǎng)，DE為寬的矩形的面積，PN=

1

2

x，DE=2，因此此時(shí)重合部分的面積是y=

1

2

x×2=x；
④當(dāng)P在B左側(cè)時(shí)，而N點(diǎn)在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，即

16

3

＜x＜8時(shí)，此時(shí)重合部分的面積應(yīng)該是以DE長(zhǎng)為寬，PA長(zhǎng)為長(zhǎng)的矩形的面積．BP=AB-AP=8-x，BF=DE=2，因此此時(shí)重合部分的面積應(yīng)該是y=（8-x）×2=16-2x，
當(dāng)

8

3

＜x≤4時(shí)，如果y=2，2=

3

4

x2-2x，解得x=

4+2 10

3

或x=

4-2 10

3

（舍去）；
當(dāng)4＜x≤

16

3

時(shí)，如果y=2，x=2，也不符合題意，
當(dāng)

16

3

＜x＜8時(shí)，如果y=2，2=16-2x，解得x=7，因此當(dāng)AP=7cm時(shí)，y=2cm²．
∴當(dāng)x=7cm或x=

4+2 10

3

cm時(shí)，y=2cm²．
故答案為：AP=7cm或

4+2 10

3

cm．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，中位線定理以及解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，要注意x的值不同，正方形的位置不同時(shí)，函數(shù)解析式是不同的，要分類討論，不要漏解．