Question

已知，AB、AC是圓O的切線，B、C是切點(diǎn)，BD是圓O的直徑，連接AO、CD，
（1）求證：OA∥CD；
（2）過D點(diǎn)作AC的平行線，分別交AB、AO于E、F，若AB=BD，求tan∠BDE的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）連接BC，交OA于點(diǎn)G，根據(jù)AB，AC為圓O的切線，利用切線長定理得到AB=AC，AO為角平分線，利用三線合一得到AG垂直于BC，利用同角的余角相等得到一對內(nèi)錯(cuò)角角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可得證；
（2）由DE與AC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對角相等，再由AO為角平分線得到一對角相等，等量代換得到∠AFE=∠EAF，利用外角的性質(zhì)得到∠BED=2∠EAF，在直角三角形ABD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出tan∠EAF的值，利用二倍角的正切函數(shù)公式求出tan∠BED的值，即可確定出tan∠BDE的值．

解答：解：（1）連接BC，交OA于點(diǎn)G，
∵AB、AC是圓O的切線，B、C是切點(diǎn)，
∴AB=AC，AO為∠CAB的平分線，
∴AG⊥BC，
∴∠GOC+∠GCO=90°，
∵BD為圓O的直徑，
∴∠BCD=90°，
∴∠GCO+∠OCD=90°，
∴∠GOC=∠OCD，
∴OA∥CD；

（2）∵DE∥AC，
∴∠AFE=∠CAF，
∵∠EAF=∠CAF，
∴∠AFE=∠EAF，
∴∠BED=2∠EAF，
∵AB=BD，O為BD的中點(diǎn)，
∴tan∠BAO=

1

2

，
∴tan∠BED=

2tan∠BAO

1-tan2∠BAO

=

4

3

，
則tan∠BDE=

3

4

．

點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，平行線的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．