Question

如圖①，已知反比例函數(shù)y=

m

x

（m≠0）的圖象經(jīng)過點A（-1，3），一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點A和點C（0，4），且與反比例函數(shù)的圖象相交于另一點B．
（1）求這兩個函數(shù)的解析式和點B的坐標；
（2）根據(jù)圖象，直接寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍；
（3）若直線AO、BO分別交雙曲線的另一分支于點D、點E，如圖②，那么在x軸上是否存在一點G，使得S_△AOG=S_{四邊形ABDE}？若存在，求出此時G點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式,平行四邊形的判定與性質(zhì),中心對稱圖形

專題：綜合題

分析：（1）只需運用待定系數(shù)法就可求出兩個函數(shù)的解析式，然后只需將兩個函數(shù)的解析式組成方程組，解這個方程組就可求出點B的坐標．
（2）利用數(shù)形結(jié)合就可解決問題．
（3）易證四邊形ABDE是平行四邊形，就可得到S_{四邊形ABDE}=4S_△OAB，然后只需運用割補法求出△OAB的面積，就可得到△AOG的面積，就可求出OG的長，就可得到點G的坐標．

解答：解：∵反比例函數(shù)y=

m

x

（m≠0）的圖象經(jīng)過點A（-1，3），
∴m=-1×3=-3．
∵一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點A和點C（0，4），
∴

-k+b=3 b=4

，
解得：

k=1 b=4

，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-

3

x

，一次函數(shù)的解析式為y=x+4．
解方程組

y=- 3 x y=x+4

，
得：

x=-1 y=3

，

x=-3 y=1

，
∴點B的坐標為（-3，1）．

（2）∵點A的坐標為（-1，3），點B的坐標為（-3，1），
∴結(jié)合圖①可得：

當(dāng)反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時，x的取值范圍為：x＜-3或-1＜x＜0．

（3）過點A作AN⊥x軸于N，點B作BM⊥x軸于M，如圖②．

∵直線AO、BO、反比例函數(shù)y=-

3

x

的圖象都是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，
∴OA=OD，OB=OE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴S_{四邊形ABDE}=4S_△OAB．
∵S_△AOG=S_{四邊形ABDE}，
∴S_△AOG=4S_△OAB．
∵點A的坐標為（-1，3），點B的坐標為（-3，1），
∴ON=1，AN=3，OM=3，BM=1，
∴S_△OAB=S_{四邊形ABMO}-S_△BMO
=S_梯形ABMN+S_△ANO-S_△BMO
=

1

2

（BM+AN）•MN+

1

2

ON•AN-

1

2

OM•BM
=

1

2

×（1+3）×（3-1）+

1

2

×1×3-

1

2

×3×1
=4，
∴S_△AOG=4S_△OAB=16．
∵點G在x軸上，
∴S_△AOG=

1

2

OG•AN=

1

2

×3OG=

3

2

OG=16，
∴OG=

32

3

，
∴點G的坐標為（

32

3

，0）或（-

32

3

，0）．

點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式、中心對稱圖形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、解方程組等知識，運用數(shù)形結(jié)合是解決第（2）小題的關(guān)鍵，運用割補法是解決第（3）小題的關(guān)鍵．