Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點，并與x軸交于另一點C（點C點A的右側(cè)），點P是第二象限的拋物線上一動點．
（1）求拋物線的解析式及點C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點P運動到什么位置時，△PAB的面積最大？最大面積是多少？
（3）當(dāng)（2）中點P運動到△PAB的面積最大時，x軸上是否存在點D，使△PDB的周長最�。咳舸嬖�，求出點D的坐標(biāo)；若不存在．請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A（-4，0），B（0，4）代入拋物線y=-x²+bx+c，可得出拋物線解析式，當(dāng)y=0時即可得出點C的坐標(biāo)．
（2）設(shè)y=x+b與拋物線y=-x²-3x+4只有一個交點時，△PAB的面積最大，利用判別式求出b的值，再聯(lián)立可得出點P的坐標(biāo)，過點B作BM⊥PN交PN于點M，利用三角函數(shù)求出BM，再利用△PAB的面積公式即可求出答案．
（3）連接BP，作點B關(guān)于原點O的對稱點B′，連接B′P，交x軸于點D，這時△PDB的周長最�。�先求出點B′的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)求出PB′所在的直線，即可求出與x軸的交點D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴A（-4，0），B（0，4）拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點，可得

-16-4b+c=0 c=4

，解得

b=-3 c=4

，
∴拋物線解析式為y=-x²-3x+4．
令y=0，得-x²-3x+4=0，
解得x₁=-4，x₂=1，
∴C（1，0）．
（2）如圖1，

設(shè)y=x+b與拋物線y=-x²-3x+4只有一個交點時，△PAB的面積最大，
∵由x+b=-x²-3x+4化簡x²+4x+b-4只有一個解，得△=16-4×（b-4）=32-4b=0，解得b=8．
∴y=x+8，
∴聯(lián)立得方程組得

y=x+8 y=-x2-3x+4

，
解得

x=-2 y=6

，
∴P（-2，6）
過點B作BM⊥PN交PN于點M，
∵BN=ON-OB=8-4=4，sin∠MNB=

2

2

，
∴BM=4×

2

2

=2

2

，
△PAB的面積=

1

2

AB•BM=

1

2

×4

2

×2

2

=8．
（3）存在．
如圖2，

連接BP，作點B關(guān)于原點O的對稱點B′，連接B′P，交x軸于點D，這時△PDB的周長最�。�
∵點B（0，4），
∴點B′（0，-4），
∵P（-2，6）
∴設(shè)PB′所在的直線為y=kx+b得

-4=b 6=-2k+b

，
解得

k=-5 b=-4

∴PB′所在的直線為y=-5x-4，
點D的坐標(biāo)為（-

4

5

，0）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征．