【題目】如圖,直線y=x+3與兩坐標軸交于A,B兩點,拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點,且交x軸的正半軸于點C.
(1)直接寫出A、B兩點的坐標;
(2)求拋物線的解析式和頂點D的坐標;
(3)在拋物線上是否存在點P,使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,說明理由.
【答案】(1)B(0,3),A(﹣3,0);(2)拋物線解析式為:y=﹣x2﹣2x+3;頂點D坐標為(﹣1,4);(3)存在,符合條件的點P的坐標為(﹣1,4)或(2,﹣5).
【解析】試題分析:(1)分別令x=0和y=0代入y=x+3中可得結論;
(2)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,根據(jù)配方法可得頂點D的坐標;
(3)分兩種情況:設點P的坐標為(t,﹣t2﹣2t+3).根據(jù)兩點距離公式可得:AB2=32+32=18,AP2=(t+3)2+(﹣t2﹣2t+3)2,BP2=t2+(﹣t2﹣2t)2.
①如圖1,如果點B為直角頂點,那么AB2+BP2=AP2;
②如圖2,如果點A為直角頂點,那么AP2+AB2=BP2,列方程可得結論.
試題解析:解:(1)當x=0時,y=3,∴B(0,3),當y=0時,x+3=0,x=﹣3,∴A(﹣3,0);
(2)把A(﹣3,0),B(0,3)分別代入y=﹣x2+bx+c得:
,解得: ,∴拋物線解析式為:y=﹣x2﹣2x+3;
頂點D坐標為(﹣1,4)
(3)存在.
設點P的坐標為(t,﹣t2﹣2t+3).
∵A(﹣3,0),B(0,3),∴AB2=32+32=18,AP2=(t+3)2+(﹣t2﹣2t+3)2,BP2=t2+(﹣t2﹣2t)2.
當△PAB是以AB為直角邊的直角三角形時,可分兩種情況:
①如圖1,如果點B為直角頂點,那么AB2+BP2=AP2
(事實這里的點P與點D 重合)
即18+t2+(﹣t2﹣2t)2=(t+3)2+(﹣t2﹣2t+3)2,整理得t2+t=0,解得t1=﹣1,t2=0(不合題意舍去),則點P的坐標為(﹣1,4);
②如圖2,如果點A為直角頂點,那么AP2+AB2=BP2,即18+(t+3)2+(﹣t2﹣2t+3)2=t2+(﹣t2﹣2t)2,整理得t2+t﹣6=0,解得t1=2,t2=﹣3(不合題意舍去),則點P的坐標為(2,﹣5);
綜上所述:所有符合條件的點P的坐標為(﹣1,4)或(2,﹣5).
另解:如圖3,作DE⊥y軸于點E,發(fā)現(xiàn)∠ABO=∠DBE=45°>
可知頂點D滿足△DAB是直角三角形,這時點P的坐標為(﹣1,4);
作PA⊥AB交拋物線于點P,作PF⊥x軸于點F,發(fā)現(xiàn)∠PAF=∠APF=45°,由PF=AF求出另一點P為(2,﹣5).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為鼓勵節(jié)約用水,某地推行階梯式水價計費制,標準如下:每月用水不超過17立方米的按每立方米元計費,超過17立方米而未超過30立方米的部分按每立方米元計費,超過30立方米的部分按每立方米元計費,某戶居民上月用水35立方米,應繳水費_________元.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)學問題:計算等差數(shù)列5,2,﹣1,﹣4……前n項的和.
問題探究:為解決上面的問題,我們從最簡單的問題進行探究.
探究一:首先我們來認識什么是等差數(shù)列.
數(shù)學上,稱按一定順序排列的一列數(shù)為數(shù)列,其中排在第一位的數(shù)稱為第1項,用a1表示:排在第二位的數(shù)稱為第2項,用a2表示……排在第n位的數(shù)稱為第n項,用an表示.一般地,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.如:數(shù)列2,4,6,8,….為等差數(shù)列,其中a1=2,公差d=2.
(1)已知等差數(shù)列5,2,﹣1,﹣4,…則這個數(shù)列的公差d= ,第5項是 .
(2)如果一個數(shù)列a1,a2,a3,a4,…是等差數(shù)列,且公差為d,那么根據(jù)定義可得到:
a2﹣a1=d,a3﹣a2=d,a4﹣a3=d,……an﹣an﹣1=d,所以a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a1+3d,……:由此可得an= (用a1和d的代數(shù)式表示)
(3)對于等差數(shù)列5,2,﹣1,﹣4,…,an= 請判斷﹣2020是否是此等差數(shù)列的某一項,若是,請求出是第幾項:若不是,說明理由.
探究二:二百多年前,數(shù)學王子高斯用他獨特的方法快速計算出1+2+3+4+…+100的值.我們從這個算法中受到啟發(fā),用此方法計算數(shù)列1,2,3,…,n的前n項和:由 可知
(4)請你仿照上面的探究方式,解決下面的問題:
若a1,a2,a3,…,an為等差數(shù)列的前n項,前n項和Sn=a1+a2+a3+…+an.證明:Sn=na1+.
(5)計算:計算等差數(shù)列5,2,﹣1,﹣4…前n項的和Sn(寫出計算過程).
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【題目】某文具店老板第一次用1000元購進一批文具,很快銷售完畢,第二次購進時發(fā)現(xiàn)每件文具的進價比第一次上漲了2.5元,老板用2500元購進了第二批文具,所購進文具的數(shù)量是第一次購進數(shù)量的2倍,同樣很快銷售完畢,已知兩批文具的售價均為每件15元.
(1)第二次購進了多少件文具?
(2)文具店老板在這兩筆生意中共盈利多少元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商品的進貨價為每件30元,為了合理定價,先投放市場試銷.據(jù)市場調(diào)查,銷售價為每件40元時,每周的銷售量是180件,而銷售價每上漲1元,則每周的銷售量就會減少5件,設每件商品的銷售價上漲x元,每周的銷售利潤為y元.
(1)用含x的代數(shù)式表示:每件商品的銷售價為 元,每件商品的利潤為 元,每周的商品銷售量為 件;
(2)求y關于x的函數(shù)關系式(不要求寫出x的取值范圍);
(3)應怎樣確定銷售價,使該商品的每周銷售利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB=∠DOC=90°,OE平分∠AOD,反向延長射線OE至F.
(1)∠AOD和∠BOC是否互補?說明理由;
(2)射線OF是∠BOC的平分線嗎?說明理由;
(3)反向延長射線OA至點G,射線OG將∠COF分成了4:3的兩個角,求∠AOD.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校準備印刷一批證書,現(xiàn)有兩個印刷廠可供選擇:甲廠收費方式:收制版費1000元,每本印刷費0.5元;乙廠收費方式:不收制版費,每本收印刷費1.5元;若該校印制證書x本.
(1)當印制證書3000本時,甲廠的收費為 元,乙廠的收費為 元;
(2)請問印刷多少本證書時,甲乙兩廠收費相同?
(3)你認為選擇哪一家印刷廠更優(yōu)惠?
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【題目】如圖,拋物線 (a≠0)的對稱軸為直線x=1,與x軸的一個交點坐標為(﹣1,0),其部分圖象如圖所示,下列結論:
①4ac<b2;
②方程 的兩個根是x1=﹣1,x2=3;
③3a+c>0
④當y>0時,x的取值范圍是﹣1≤x<3
⑤當x<0時,y隨x增大而增大
其中結論正確的個數(shù)是( )
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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【題目】為了迎接鄭州市第二屆“市長杯”青少年校園足球超級聯(lián)賽,某學校組織了一次體育知識競賽.每班選25名同學參加比賽,成績分別為A、B、C、D四個等級,其中相應等級得分依次記為100分、90分、80分、70分.學校將八年級一班和二班的成績整理并繪制成統(tǒng)計圖,如圖所示.
(1)把一班競賽成績統(tǒng)計圖補充完整;
(2)寫出下表中a、b、c的值:
平均數(shù)(分) | 中位數(shù)(分) | 眾數(shù)(分) | 方差 | |
一班 | a | b | 90 | 106.24 |
二班 | 87.6 | 80 | c | 138.24 |
(3)根據(jù)(2)的結果,請你對這次競賽成績的結果進行分析.
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