Question

已知x_n，xn′是關(guān)于x的方程a_nx²-4a_nx+4a_n-n=0（a_n＞a_n+1）的兩個實(shí)數(shù)根，x_n＜xn′，其中n為正整數(shù)，且a₁=1．
（1）x1′-x₁的值為

 

；
（2）當(dāng)n分別取1，2，…，2013，2014時，想對應(yīng)的有2014個方程，將這些方程的所有實(shí)數(shù)根從小到大的順序排列，相鄰兩數(shù)的差恒為（x1′-x₁）的值，則x′₂₀₁₄-x₂₀₁₃=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專題：

分析：（1）當(dāng)n=1時，將a₁=1代入方程即可求出x₁′-x₁的值；
（2）表示出方程的根，根據(jù)a_n＞a_n+1，得到

1

a1

＜

2

a2

＜

3

a3

＜…＜

n

an

，當(dāng)n=1，2，3，…，以及2012，2013，得到4028個公差為2的等差數(shù)列，求出所求式子即可．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時，將a₁=1代入方程得：x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x′₁=3，
則x′₁-x₁=2；

（2）由求根公式得：x=2±

n an

，
據(jù)a_n＞a_n+1，得到

1

a1

＜

2

a2

＜

3

a3

＜…＜

n

an

，
當(dāng)n=1時，x₁=1，x′₁=3；
當(dāng)n=2時，x₂＜x₁，x′₂＞x′₁，
當(dāng)n=3時，x₃＜x₂，x′₃＞x′₂，
依此類推，
當(dāng)n=2013時，x₂₀₁₃＜x₂₀₁₂，x′₂₀₁₃＞x′₂₀₁₂，
當(dāng)n=2014時，x₂₀₁₄＜x₂₀₁₃，x′₂₀₁₄＞x′₂₀₁₃，
∴根由小到大排列為：x₂₀₁₄，x₂₀₁₃，…，x₁，x′₁，…，x′₂₀₁₄，共4028項(xiàng)，
∵等差且d=2，
∴x′₂₀₁₄-x₂₀₁₃=（4028-2）×2=8052．
故答案為：2；8052．

點(diǎn)評：此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，有一定難度，找出題中根的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．