Question

已知直線y=kx+1經(jīng)過點A（d，-2）和點B（2，3），交y軸于點C，交x軸于點D．將直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線AE，點F（5，e）在直線AE上．經(jīng)過A，B，F(xiàn)三點的拋物線y=ax²+bx+c的頂點為G．
（1）求拋物線的解析式及頂點G的坐標(biāo)；
（2）將拋物線y=ax²+bx+c沿豎直方向進(jìn)行平移m（m＞0）個單位，頂點為G′．當(dāng)∠AG′B=90°時，求m的值；
（3）在拋物線y=ax²+bx+c上是否存在點P，使△ABP的面積等于△ABG的面積的6倍？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)得出k，d的值，進(jìn)而得出F點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）分別利用①若將拋物線向上平移，②若將拋物線向下平移，分別求出M的值即可；
（3）分別求出△ABG的面積表示出△ABP的面積，進(jìn)而得出等式求出即可．

解答：解：（1）∵直線y=kx+1經(jīng)過點A（d，-2）和點B（2，3），
∴k=1，d=-3，即直線y=x+1，A（-3，-2）．
∴點C（0，1），點D（-1，0），即OC=OD．
∴∠CDO=45°．
∵直線AE是直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到的，
∴∠BAF=45°．
∴AE∥x軸．
∴點F的坐標(biāo)為（5，-2）．
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A，B，F(xiàn)三點，
∴

-2=9a-3b+c 3=4a+2b+c -2=25a+5b+c

解得

a=- 1 3 b= 2 3 c=3.

故拋物線的解析式為y=-

1

3

x²+

2

3

x+3=-

1

3

（x-1）²+

10

3

，故頂點G（1，

10

3

）．              

（2）設(shè)平移后的拋物線為y=-

1

3

（x-1）²+h，頂點G′為（1，h）．
①若將拋物線向上平移．
連接AG′，BG′．作拋物線的對稱軸G′H，交AE于H，則G′H⊥AE．

作BM⊥G′H，垂足為M．
則有AH=4，G′H=h+2，BM=1，G′M=h-3
∵∠AG′B=90°，
∴Rt△G′AH∽Rt△BG′M．
∴

G′H

BM

=

AH

G′M

，即

h+2

1

=

4

h-3

．
解得h=

1± 41

2

（負(fù)號舍去）．
故m=

1+ 41

2

-

10

3

=

3 41 -17

6

．    
②若將拋物線向下平移．
同理可得

3-h

4

=

1

-2-h

，
解得h=

1± 41

2

（正號舍去）．
故m=

10

3

+

41 -1

2

=

3 41 +17

6

．            
                          
（3）設(shè)拋物線的對稱軸G′H與AB的交點為N，則點N的坐標(biāo)為（1，2）．
∴△ABG的面積=

1

2

×（

10

3

-2）×5=

10

3

．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（p，-

1

3

p²+

2

3

p+3），
則△ABP的面積=

1

2

×（p+1+

1

3

p²-

2

3

p-3）×5=

5

6

（p²+p-6）．
∵△ABP的面積等于△ABG的面積的6倍．
∴

5

6

（p²+p-6）=

10

3

×6．
解得p₁=5，p₂=-6，
∴-

1

3

p²+

2

3

p+3=-

1

3

×25+

2

3

×5+3=-2，
-

1

3

p²+

2

3

p+3=-

1

3

×36+

2

3

×（-6）+3=-13，
故存在點P，使△ABP的面積等于△ABG的面積的6倍，
點P的坐標(biāo)為（5，-2）或（-6，-13）．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及三角形面積求法和圖形的平移等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．