Question

如圖，∠ABE=∠BAD=90°，∠AED=2∠BED，點G是DF的中點，若BE=1，AG=4．
（1）求證：AE=AG；
（2）求AB的長度．

Answer 1

考點：直角三角形斜邊上的中線,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AG=DG=FG，再根據(jù)等邊對等角可得∠D=∠DAG，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠AGE=2∠D，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠D=∠BED，然后求出∠AED=∠AGE，再利用等角對等邊證明即可；
（2）利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：（1）證明：∵∠BAD=90°，點G是DF的中點，
∴AG=DG=FG，
∴∠D=∠DAG，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠AGE=∠D+∠DAG=2∠D，
∵∠ABE=∠BAD=90°，
∴AD∥BE，
∴∠BED=∠D，
∵∠AED=2∠BED，
∴∠AED=∠AGE，
∴AE=AG；

（2）解：∵AG=4，
∴AE=4，
由勾股定理得，AB=

AE2-BE2

=

42-12

=

15

．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，熟記性質(zhì)與定理并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．