Question

【題目】如圖所示，已知點(diǎn)M（1，4），N（5，2），P（0，3），Q（3，0），過(guò)P，Q兩點(diǎn)的直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+3，動(dòng)點(diǎn)P從現(xiàn)在的位置出發(fā)，沿y軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向上移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為ts．

（1）若直線(xiàn)PQ隨點(diǎn)P向上平移，則：

①當(dāng)t＝3時(shí)，求直線(xiàn)PQ的函數(shù)表達(dá)式．

②當(dāng)點(diǎn)M，N位于直線(xiàn)PQ的異側(cè)時(shí)，確定t的取值范圍．

（2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到某一位置時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最小，試確定t的值．

（3）若點(diǎn)P向上移動(dòng)，點(diǎn)Q不動(dòng)．若過(guò)點(diǎn)P，Q的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（x0，y0），則x0，y0需滿(mǎn)足什么條件？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）①y＝﹣x+6，②2＜t＜4；（2）；（3）x0＜3時(shí)，y0＞﹣x+3，當(dāng)x0＞3時(shí)，y0＜﹣x0+3．

【解析】

（1）①設(shè)平移后的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x+b，其中b＝3+t，即可求解；

②當(dāng)直線(xiàn)PQ過(guò)點(diǎn)M時(shí)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入y＝﹣x+3+t得：4＝﹣1+3+t，解得：t＝2；同理當(dāng)直線(xiàn)PQ過(guò)點(diǎn)N時(shí)，t＝4，即可求解；

（2）作點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)軸N′（﹣5，2），連接MN′交y軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，即可求解；

（3）由題意得：x0＜3時(shí)，y0＞﹣x+3，當(dāng)x0＞3時(shí)，y0＜﹣x0+3．

解：（1）①設(shè)平移后的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x+b，其中b＝3+t，

故y＝﹣x+3+t，

當(dāng)t＝3時(shí)，PQ的表達(dá)式為：y＝﹣x+6；

②當(dāng)直線(xiàn)PQ過(guò)點(diǎn)M時(shí)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入y＝﹣x+3+t得：4＝﹣1+3+t，解得：t＝2；

同理當(dāng)直線(xiàn)PQ過(guò)點(diǎn)N時(shí)，t＝4，

故t的取值范圍為：2＜t＜4；

（2）作點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)軸N′（﹣5，2），連接MN′交y軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，

則PN＝PN′，

△PMN的周長(zhǎng)＝MN+PM+PN＝MN+PM+PN′＝MN+MN′為最小，

設(shè)直線(xiàn)MN′的表達(dá)式為：y＝kx+b，則，解得：，

故直線(xiàn)MN′的表達(dá)式為：y＝x+，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，故點(diǎn)P（0，），

∴t＝﹣3＝；

（3）點(diǎn)A（x0，y0），點(diǎn)Q（3，0），點(diǎn)P（0，t+3）

由題意得：x0＜3時(shí)，y0＞﹣x+3，當(dāng)x0＞3時(shí)，y0＜﹣x0+3．