Question

【題目】如圖，己知，A(0, 4),B (t,0)分別在y軸,x軸上，連接AB,以AB為直角邊分別作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ABC.直線BC交y軸于點(diǎn)E. 點(diǎn)G(-2,3)、H(-2,1)在第二象限內(nèi).

(1)當(dāng)t =-3時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

(2)若點(diǎn)G、H位于直線AB的異側(cè)，確定t的取值范圍.

(3)①當(dāng)t取何值時(shí)，△ABE與△ACE的面積相等.

②在①的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)P,使△PCB為等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）D（-7，3）；（2）；（3）①－2；②存在，P(6，0)，P(，0)，P(-2-2，0)，P(2-2，0)

【解析】

（1）當(dāng)t=-3時(shí)，過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，證明△ABO≌△BDM，得出DM=BO和MB=OA，從而得出點(diǎn)D坐標(biāo).

（2）設(shè)出AB解析式y=kx+4，分別求出點(diǎn)G，H在線段AB上的時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）①假設(shè)△ABE與△ACE的面積相等，利用等底同高求出t值；

②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),分BP=BC、CP=CB、PC=PB三種情況討論.

(1)當(dāng)t=-3時(shí)，過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M,

∵△ABD為等腰直角三角形，AB=BD，∠ABD=90°

∴∠ABO+∠DBM=180°-90°=90°

又∵DM⊥x軸于點(diǎn)M

∴∠DMB=90°

∴∠DBM+∠MDB=90°

∴∠MDB=∠ABO

在△ABO和△BDM中

∴△ABO≌△BDM

∴DM=BO=3，MB=OA=4

∴MO=MB+BO=4+3=7

∴D（-7，3）

(2)∵A（0，4），B（t,0),設(shè)直線AB的解析式為y=kx+4

當(dāng)點(diǎn)G（-2，3）在直線AB上時(shí)

3=-2k+4，

此時(shí)AB的解析式

當(dāng)y=0時(shí)，，x=-8

此時(shí)B（-8，0)

當(dāng)點(diǎn)H（-2，1）在直線AB上時(shí)

1=-2k+4，

此時(shí)AB的解析式

當(dāng)y=0時(shí)，，x=

此時(shí)B（，0)

∵點(diǎn)G, H位于直線AB的異側(cè)，

∴由圖像可知直線AB與線段MN相交，且點(diǎn)M，N不在直線AB上

∴

(3)①t=-2時(shí)，△ABE與△ACE的面積相等.

如圖，過點(diǎn)B做x軸垂線，構(gòu)造直角三角形ARB和直角三角形BQC，

∵∠RAB+∠ABR=90°，∠ABR+∠BCQ=90°

∴∠ABR=∠BCQ，

在△ARB和△BQC中，

，

∴△ARB≌△BQC（AAS）

∴AR=BQ,BR=QC=4，

若△ABE與△ACE的面積相等，

則BE=EC，

∴BO=CN=2,

∴B（-2,0）

②P(6，0)，P(，0)，P(-2-2，0)，P(2-2，0)

由②可得C（2，-2）

當(dāng)BP=BC時(shí)，

BC==，

∴BP=

∴P(-2-2，0)或P(2-2，0)

當(dāng)CP=CB時(shí)，

BP=8，

∴P(6，0)

當(dāng)PC=PB時(shí)，

如圖，過E作BC的垂線，交x軸于點(diǎn)P，過C作x軸垂線于點(diǎn)S，

設(shè)BP=m=PC，則PS=4-m，

在△PSC中，PS2+SC2=PC2,

即22+（4- m）2= m 2，

解得m=，

∴OP=-2=，

∴P(，0).

綜上：P(6，0)，P(，0)，P(-2-2，0)，P(2-2，0).