Question

【題目】如圖，是的弦，交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交的延長線于點(diǎn)．且．

(1)求證：是的切線．

(2)若的半徑為， ，則的長為 ．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2

【解析】

（1）由垂直定義得∠A＋∠APO＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由CP＝CB得∠CBP＝∠CPB，根據(jù)對頂角相等得∠CPB＝∠APO，所以∠APO＝∠CBP，而∠A＝∠OBA，所以∠OBC＝∠CBP＋∠OBA＝∠APO＋∠A＝90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到BC是⊙O的切線；
（2）設(shè)BC＝x，則PC＝x，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得到（）2＋x2＝（x＋1）2，然后解方程即可．

（1）連結(jié)OB．

∵OP⊥OA，

∴∠A+∠APO=90°．

∵CP=CB，∴∠CBP=∠CPB．

∵∠CPB=∠APO，∴∠APO=∠CBP．

∵OA=OB，∴∠A=∠OBA．

∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°．

∴OB⊥BC．

∵點(diǎn)B在⊙O上，∴BC是⊙O的切線．

（2）解：設(shè)BC＝x，則PC＝x，
在Rt△OBC中，OB＝，OC＝CP＋OP＝x＋1，
∵OB2＋BC2＝OC2，
∴（）2＋x2＝（x＋1）2，
解得x＝2，
即BC的長為2．