Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣5（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（4，﹣5），與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OC=5OB，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．

（1）求這條拋物線的解析式；
（2）連接AB，BC，CD，DA，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx﹣5（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣5），

∴OC=5，

∵OC=5OB，

∴OB=1．

又∵點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0）．

將A（4，﹣5），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣5中，

得： ，解得： ，

∴這條拋物線的解析式是y=x2﹣4x﹣5

（2）解：∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣9），

連接AC，如圖所示．

∵A（4，﹣5），C（0，﹣5），

∴AC∥x軸，

∴ ， ，

∴四邊形ABCD的面積=10+8=18．

【解析】（1）由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的作伴特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，結(jié)合OC=5OB即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式；（2）將二次函數(shù)解析式變形為頂點(diǎn)式，由此即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，連接AC，將四邊形ABCD分成兩個三角形，再根據(jù)三角形的面積求出△ACB和△ACD的面積，將其相加即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．