Question

已知在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（-1，0）（3，0）（0，

3

），將直線AC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°成為直線l．
（1）求直線l的解析式；
（2）設(shè)直線l交y軸于點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)以每秒1個(gè)單位速度沿直線l向斜上方運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，連接PO、PB，設(shè)△POB的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)B作EB⊥AB，EB交直線l于點(diǎn)E，在點(diǎn)P出發(fā)時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)E同時(shí)出發(fā)，沿直線l向斜下方勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度大于點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度，則在直線l上是否存在這樣P、Q兩點(diǎn)，使P、Q兩點(diǎn)與A、B、C三點(diǎn)中的兩點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形（非正方形）？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）求得A和C關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）分P在線段DF上和在DF的延長(zhǎng)線上兩種情況進(jìn)行討論，求得P的縱坐標(biāo)，利用三角形的面積公式求解；
（3）首先證明△ABC是直角三角形，則AD⊥BD，過(guò)A作AN⊥DF于點(diǎn)N，BC與DF相交于點(diǎn)M，則P、Q只能是D或M或N中的點(diǎn)，然后進(jìn)行討論即可．

解答：解：（1）A和C關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)分別是（1，0）和（0，-

3

），
設(shè)直線l的解析式是y=kx+b，
則

k+b=0 b=- 3

，
解得：

k= 3 b=- 3

，
則直線l的解析式是：y=

3

x-

3

；
（2）D的坐標(biāo)是（0，-

3

），設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)是F，則F的坐標(biāo)是（1，0），
則DF=

( 3 )2+12

=2，sin∠ODF=

1

2

，則∠ODF=30°，
當(dāng)P在線段DF上時(shí)，即0≤t＜2時(shí)，DG=DP•cos∠ODF=

3

2

t，則OG=

3

-

3

2

t，
則S=

1

2

OB•OG=

1

2

×3×（

3

-

3

2

t）=-

3 3

2

t+

3 3

2

；
當(dāng)P在DP的延長(zhǎng)線上時(shí)，即t＞2時(shí)，PF=t-2，
則P到x軸的距離是：PF•sin60°=

3

2

（t-2），
則S=

1

2

×3×

3

2

（t-2）=

3 3

4

t-

3 3

2

；
（3）在y=

3

x-

3

中，令x=3，則y=3

3

-

3

=2

3

，則E的坐標(biāo)是（3，2

3

）．
∵A、B、C的坐標(biāo)分別為（-1，0）（3，0）（0，

3

），
∴AC=

12+( 3 )2

=2，BC=

( 3 )2+32

=2

3

，AB=4，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠ACO=30°，∠CAO=60°，
又∵DF與AC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，
∴∠ADB=90°，∠OAD=60°，∠ADO=30°，
①Q(mào)在D點(diǎn)，P在Q關(guān)于F對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，AQBP時(shí)矩形，則P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是4秒，Q運(yùn)動(dòng)的距離是DE=

32+(2 3 + 3 )2

=6，則Q運(yùn)動(dòng)的速度是

3

2

單位長(zhǎng)度/秒；
②過(guò)A作AN⊥DF于點(diǎn)N，BC與DF相交于點(diǎn)M．
∵l與AC關(guān)于O對(duì)稱，
∴BC⊥DF，
在直角△BMF中，BF=2，則MF=2×sin30°=1，
在直角△ANF中，AF=2，NF=AF•sin30°=1，
則當(dāng)P到N時(shí)，Q到M時(shí)，四邊形APQC是矩形，則DN=2-1=1，則t=1，Q運(yùn)動(dòng)的距離是ME=2

3

×cos30°=2

3

×

3

2

=3，則Q運(yùn)動(dòng)的速度是3單位長(zhǎng)度/秒；
當(dāng)P到M，Q到N時(shí)，四邊形AQNC是矩形，DP=DM=3，則t=3，Q運(yùn)動(dòng)的距離是EN=EF+NF=

22+(2 3 )2

+1=5，則速度是

5

3

單位長(zhǎng)度/秒．
總之，Q的速度是

3

2

單位長(zhǎng)度/秒或3單位長(zhǎng)度/秒或

5

3

單位長(zhǎng)度/秒．

點(diǎn)評(píng)：本題是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，中心對(duì)稱的性質(zhì)以及三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確確定P、Q能取得的點(diǎn)的位置是關(guān)鍵．