【題目】問題情境:
數(shù)學活動課上,老師讓同學們以“三角形的旋轉”為主題開展數(shù)學活動,△ABC和△DEC是兩個全等的直角三角形紙片,其中∠ACB=∠DCE=90°,∠B=∠E=30°,AB=DE=4.
解決問題:
(1)如圖1,智慧小組將△DEC繞點C順時針旋轉,發(fā)現(xiàn)當點D恰好落在AB邊上時,DE∥AC,請你幫他們證明這個結論;
(2)縝密小組在智慧小組的基礎上繼續(xù)探究,當△DEC繞點C繼續(xù)旋轉到如圖2所示的位置時,連接AE、AD、BD,他們提出S△BDC=S△AEC,請你幫他們驗證這一結論是否正確,并說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)正確,理由見解析
【解析】
(1)如圖1中,根據(jù)旋轉的性質可得AC=CD,然后求出△ACD是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質可得∠ACD=60°,然后根據(jù)內錯角相等,兩直線平行進行解答;
(2)如圖2中,作DM⊥BC于M,AN⊥EC交EC的延長線于N.根據(jù)旋轉的性質可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面積相等證明.
解:(1)如圖1中,∵△DEC繞點C旋轉點D恰好落在AB邊上,
∴AC=CD,
∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°,
∴△ACD是等邊三角形,
∴∠ACD=60°,
又∵∠CDE=∠BAC=60°,
∴∠ACD=∠CDE,
∴DE∥AC;
(2)結論正確,
理由如下:如圖2中,作DM⊥BC于M,AN⊥EC交EC的延長線于N.
∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到,
∴BC=CE,AC=CD,
∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°,
∴∠ACN=∠DCM,
在△ACN和△DCM中,
,
∴△ACN≌△DCM(AAS),
∴AN=DM,
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),
即S△BDC=S△AEC.
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【題目】南洞庭大橋是南益高速公路上的重要橋梁,小芳同學在校外實踐活動中對此開展測量活動.如圖,在橋外一點A測得大橋主架與水面的交匯點C的俯角為α,大橋主架的頂端D的仰角為β,已知測量點與大橋主架的水平距離AB=a,則此時大橋主架頂端離水面的高CD為( )
A.asinα+asinβB.acosα+acosβC.atanα+atanβD.
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【題目】在矩形中,分別以,所在直線為軸,軸,建立如圖所示的平面直角坐標系.是邊上一個動點(不與,重合),過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點,已知,,將沿折疊,點恰好落在邊上的點處,則________.
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【題目】如圖,鈍角△ABC中,AB=AC,BC=2,O是邊AB上一點,以O為圓心,OB為半徑作⊙O,交邊AB于點D,交邊BC于點E,過E作⊙O的切線交邊AC于點F.
(1)求證:EF⊥AC.
(2)連結DF,若∠ABC=30°,且DF∥BC,求⊙O的半徑長.
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【題目】如圖,已知點A1的坐標為(0,1),點A2在x軸的正半軸上,且∠A1A2O=30°,過點A2作A2A3⊥A1A2,交y軸于點A3;過點A3作A3A4⊥A2A3,交x軸于點A4;過點A4作A4A5⊥A3A4,交y軸于點A5;……;按此規(guī)律進行下去,則點A2021的坐標為( )
A.(0,31011)B.(﹣31011,0)C.(0,31010)D.(﹣31010,0)
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【題目】某市少年宮為小學生開設了繪畫、音樂、舞蹈和跆拳道四類興趣班,為了解學生對這四類興趣班的喜愛情況,對學生進行了隨機問卷調查(問卷調查表如圖所示),將調查結果整理后繪制了一幅不完整的統(tǒng)計表
最受歡迎興趣班調查問卷 | 統(tǒng)計表 | |||||
選項 | 興趣班 | 請選擇 | 興趣班 | 頻數(shù) | 頻率 | |
A | 繪畫 | A | 0.35 | |||
B | 音樂 | B | 18 | 0.30 | ||
C | 舞蹈 | C | 15 | |||
D | 跆拳道 | D | 6 | |||
你好!請選擇一個(只能選一個)你最喜歡的興趣班,在其后空格內打“√”,謝謝你的合作. | 1 | |||||
請你根據(jù)統(tǒng)計表中提供的信息回答下列問題:
(1)統(tǒng)計表中的 , ;
(2)根據(jù)調查結果,請你估計該市2000名小學生中最喜歡“繪畫”興趣的人數(shù);
(3)王姝和李要選擇參加興趣班,若他們每人從A、B、C、D四類興趣班中隨機選取一類,請用畫樹狀圖或列表格的方法,求兩人恰好選中同一類的概率.
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【題目】有專家指出:人為型空氣污染(如汽車尾氣排放等)是霧霾天氣的重要成因.某校為倡議“每人少開一天車,共建綠色家園”,想了解學生上學的交通方式.九年級(8)班的5名同學聯(lián)合設計了一份調查問卷.對該校部分學生進行了隨機調查.按A(騎自行車)、B(乘公交車)、C(步行)、D(乘私家車)、E(其他方式)設置選項,要求被調查同學從中單選.并將調查結果繪制成條形統(tǒng)計圖1和扇形統(tǒng)計圖2,根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)本次接受調查的總人數(shù)是 人,扇形統(tǒng)計圖中“騎自行車”所在扇形的圓心角度數(shù)是 度,請補全條形統(tǒng)計圖;
(2)已知這5名學生中有2名女同學,要從這5名學生中任選兩名同學匯報調查結果.請用列表法或畫樹狀圖的方法,求出恰好選出1名男生和1名女生的概率.
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【題目】某射擊運動員在訓練中射擊了10次,成績如圖,下列結論正確的是( )
A.平均數(shù)是8B.眾數(shù)是8 C.中位數(shù)是9 D.方差是1
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖象與x軸負半軸交于點A(-1,0),與y軸正半軸交與點B,頂點為P,且OB=3OA,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經過A、B.
(1) 求一次函數(shù)解析式;
(2)求頂點P的坐標;
(3)平移直線AB使其過點P,如果點M在平移后的直線上,且,求點M坐標;
(4)設拋物線的對稱軸交x軸與點E,聯(lián)結AP交y軸與點D,若點Q、N分別為兩線段PE、PD上的動點,聯(lián)結QD、QN,請直接寫出QD+QN的最小值.
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