Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象交于點(diǎn)A、B．其中a、b均為非零實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)a=b=1時，求AB的長；
（2）當(dāng)a＞0時，請用含a、b的代數(shù)式表示△AOB的面積；
（3）當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)小于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)時，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為B′．若二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)y=

a

x

的圖象上，請用含a的代數(shù)式表示△BB′A的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將a=b=1代入一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，再由解析式建立方程組就可以求出A、B坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式就可以求出AB的值；
（2）由函數(shù)的解析式就可以表示出A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式分類討論就可以表示出△AOB的面積；
（3）由y=ax²+bx就可以求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而就可以求出b=2a，表示出A、B的坐標(biāo)，而求出B′的坐標(biāo)，從而求出AB′和BB′的值，分類討論由三角形的面積公式就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)a=b=1時，
∴一次函數(shù)為y=x+1，二次函數(shù)為y=x²+x．
∴

y=x+1 y=x2+x

，
∴

x1=1 y1=2

，

x2=-1 y2=0

，
∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為（1，2）或（-1，0）．
∴AB=

22+22

=2

2

．
答：AB的長為2

2

；
（2）由ax+b=ax²+bx得ax²+（b-a）x-b=0，解得：x₁=-

b

a

，x₂=1．
不妨設(shè)A（-

b

a

，0），B（1，a+b）．
當(dāng)b＞0時，S_△AOB=

1

2

×

b

a

（a+b）=

b(a+b)

2a

；
當(dāng)b=0時，△AOB不存在．
當(dāng)-a＜b＜0時，S_△AOB=

1

2

×（-

b

a

）（a+b）=-

b(a+b)

2a

；
當(dāng)b=-a時，△AOB不存在．
當(dāng)b＜-a時，S_△AOB=

1

2

×（-

b

a

）（-a-b）=

b(a+b)

2a

；
（3）∵y=ax²+bx，
∴y=a（x+

b

2a

）²-

b2

4a

，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（-

b

2a

，-

b2

4a

）．
∵拋物線的頂點(diǎn)在雙曲線y=

a

x

上，
∴-

b2

4a

=-

a

b 2a

，
∴-b³=-8a³．
∴b=2a．
∴A（-2，0），B（1，3a）．
∵BB′⊥x軸于點(diǎn)B′，
∴B′（1，0），
∴AB′=3，BB′=|3a|．
∴S_△ABB′=

1

2

 AB′•BB′．
當(dāng)a＞0時，S_△ABB′=

1

2

 AB′•BB′=

9a

2

．
當(dāng)a＜0時，S_△ABB′=

1

2

 AB′•BB′=-

9a

2

．

點(diǎn)評：本題考查了二元二次方程組的解法的運(yùn)用，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，兩點(diǎn)間的距離公式的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，分類討論思想的運(yùn)用，解答時運(yùn)用二次函數(shù)的解析式與一次函數(shù)的解析式建立方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．