Question

已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，分別以AB、AD為腰作等腰三角形△ABF和等腰三角形△ADE，且頂角∠BAF=∠DAE，聯(lián)結(jié)BD、EF相交于點G，BD與AF相交于點H．
（1）求證：BD=EF；
（2）當(dāng)線段FG、GH和GB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形ABCD是菱形，并加以證明．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),菱形的判定

專題：

分析：（1）求出∠BAD=∠FAE，根據(jù)全等三角形的判定推出△BAD≌△FAE，即可得出答案；
（2）根據(jù)相似三角形的判定推出△GHF∽△GFB，推出∠EFA=∠FBD，求出AB=AD，根據(jù)菱形的判定推出即可．

解答：（1）證明：∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD，
即∠BAD=∠FAE，
在△BAD和△FAE中，

AB=AF ∠BAD=∠EAF AD=AE

∴△BAD≌△FAE（SAS），
∴BD=EF．

（2）當(dāng)線段滿足FG²=GH×GB時，四邊形ABCD是菱形，
證明：∵FG²=GH×GB，
∴

FG

BG

=

GH

FG

，
 又∵∠BGF=∠FGB，
∴△GHF∽△GFB，
∴∠EFA=∠FBD，
∵△BAD≌△FAE，
∴∠EFA=∠ABD，
∴∠FBD=∠ABD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠FBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是菱形．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．