Question

問題提出：從A到B共有8個臺階，如果某同學(xué)在上臺階時，可以一步1個臺階，也可以一步2個臺階．那么該同學(xué)從A走到B共有多少種不同的走法？
問題探究：為解決上述實(shí)際問題，我們先建立如下數(shù)學(xué)模型：
用若干個邊長都為1的正方形（記為1×1矩形）和若干個邊長分別為1和2的矩形（記為1×2矩形），如圖1，要拼成一個邊長分別為1和n的矩形（記為1×n矩形），如圖2，有多少種不同的拼法？（設(shè)A_1×n表示不同拼法的個數(shù)）

為解決上述數(shù)學(xué)模型問題，我們采取的策略和方法是：一般問題特殊化．
探究一：先從最特殊的情形入手，即要拼成一個1×1矩形，有多少種不同拼法？
顯然，只有1種拼法，如圖3，即A_1×1=1種．
探究二：要拼成一個1×2矩形，有多少種不同拼法？不難看出，有2種拼法，如圖4，即A_1×2=2種．
探究三：要拼成一個1×3矩形，有多少種不同拼法？拼圖方法可分為兩類：一類是在圖4這2種1×2矩形
上方，各拼上一個1×1矩形，即這類拼法共有A_1×2=2種；另一類是在圖3這1種1×1矩形上方拼上一個1×2矩形，即這類拼法有A_1×1=1種，如圖5．即A_1×3=A_1×2+A_1×1=2+1=3（種）．
探究四：要拼成一個1×4矩形，有多少種不同拼法？拼圖方法可分為兩類：一類是在圖5這3種1×3矩形上方，各拼上一個1×1矩形，即這類拼法共有A_1×3=3種；另一類是在圖4這2種1×2矩形上方，各拼上一個1×2矩形，即這類拼法共有A_1×2=2種，如圖6．即A_1×4=A_1×3+A_1×2=3+2=5（種）．
探究五：要拼成一個1×5矩形，有多少種不同拼法A_1×5？仿照上述探究過程進(jìn)行解答，并求出A_1×5（不需畫圖）．
探究六：一般的，要拼成一個1×n矩形（n≥3的整數(shù)），有A_1×n=

 

 種不同拼法．（已知A_1×（n-1）=a，A_1×（n-2）=b，）
問題解決：把“問題提出”中的實(shí)際問題，轉(zhuǎn)化為“問題探究”中的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行解答．

Answer 1

考點(diǎn)：計(jì)數(shù)方法

專題：

分析：根據(jù)圖形中矩形組合規(guī)律得出A_1×5=A_1×3+A_1×4，A_1×n=A_1×（n-1）+A_1×（n-2），進(jìn)而求出即可，再利用這一規(guī)律分別求出A_1×6，A_1×7得出答案即可．

解答：解：探究五：∵A_1×4=A_1×2+A_1×3=5，
A_1×5=A_1×3+A_1×4=3+5=8，
∴要拼成一個1×5矩形，有8種不同拼法A_1×5，
探究六：一般的，要拼成一個1×n矩形（n≥3的整數(shù)），有A_1×n=A_1×（n-1）+A_1×（n-2）=a+b 種不同拼法；
故答案為；a+b；

∵從A到B共有8個臺階，如果某同學(xué)在上臺階時，可以一步1個臺階，也可以一步2個臺階，
∴A_1×1=1種，即A_1×3=A_1×2+A_1×1=2+1=3（種），A_1×4=A_1×3+A_1×2=3+2=5（種），A_1×5=8（種），
∴A_1×6=A_1×4+A_1×5=5+8=13，A_1×7=A_1×6+A_1×5=13+8=21，
∴A_1×8=A_1×6+A_1×7=13+21=34，
答：從A到B共有8個臺階，如果某同學(xué)在上臺階時，可以一步1個臺階，也可以一步2個臺階．那么該同學(xué)從A走到B共有34種不同的走法．

點(diǎn)評：本題主要考查了計(jì)數(shù)方法，培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)已知的兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系，進(jìn)行分析推斷，得出一般化關(guān)系式的能力．