Question

如圖，二次函數(shù)y=-x²+2（m-2）x+3的圖象與x、y軸交于A、B、C三點(diǎn)，其中A（3，0），拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求m的值及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)a≤x≤b時(shí)，函數(shù)y的最小值為1

3

4

，最大值為4，求a，b應(yīng)滿足的條件；
（3）在y軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得三角形PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）先把A（3，0）代入y=-x²+2（m-2）x+3，得到關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，再利用配方法將二次函數(shù)寫(xiě)成頂點(diǎn)式，即可求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）先把y=1

3

4

代入y=-x²+2x+3，得到方程1

3

4

=-x²+2x+3，解方程求出x₁=-

1

2

，x₂=

5

2

，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象即可得出a，b應(yīng)滿足的條件；
（3）先求出二次函數(shù)與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)，當(dāng)三角形PDC是等腰三角形時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)DC=DP時(shí)，易求點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）；②當(dāng)PC=PD時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線，交y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥DH于點(diǎn)N．由HD=HC，PC=PD，根據(jù)線段垂直平分線的判定與等腰三角形的性質(zhì)得出HP平分∠MHN，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得出PM=PN．設(shè)P（m，-m²+2m+3），則m=4-（-m²+2m+3），解方程求出m的值，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

3- 5

2

，

5+ 5

2

)或(

3+ 5

2

，

5- 5

2

)；③當(dāng)CD=CP時(shí)，不符合題意．

解答：解：（1）把A（3，0）代入y=-x²+2（m-2）x+3，
得-9+6（m-2）+3=0，
解得m=3．
則二次函數(shù)為y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）把y=1

3

4

代入y=-x²+2x+3，
得1

3

4

=-x²+2x+3，
解得x₁=-

1

2

，x₂=

5

2

，結(jié)合圖象知-

1

2

≤a≤1．
當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，1≤b≤

5

2

，
當(dāng)-

1

2

＜a≤1時(shí)，b=

5

2

；

（3）x=0時(shí)，y=3，所以點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3）．
當(dāng)三角形PDC是等腰三角形時(shí)，分三種情況：
①如圖1，當(dāng)DC=DP時(shí)，
∵點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=1對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）；
②如圖2，當(dāng)PC=PD時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線，交y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥DH于點(diǎn)N．
∵HD=HC=1，PC=PD，
∴HP是線段CD的垂直平分線．
∵HD=HC，HP⊥CD，
∴HP平分∠MHN，
∵PM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥DH于點(diǎn)N，
∴PM=PN．
設(shè)P（m，-m²+2m+3），則
m=4-（-m²+2m+3），解得m=

3± 5

2

，
∴P的坐標(biāo)為(

3- 5

2

，

5+ 5

2

)或(

3+ 5

2

，

5- 5

2

)；
③如圖3，當(dāng)CD=CP時(shí)，點(diǎn)P在y軸左側(cè)，不符合題意．     
綜上所述，所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或(

3- 5

2

，

5+ 5

2

)或(

3+ 5

2

，

5- 5

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，二次函數(shù)的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．