Question

如圖，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上．
（1）求證：BE=DF；
（2）若等邊三角形AEF的邊長(zhǎng)為2，求正方形ABCD的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)得出AE=AF，AB=AC，進(jìn)而利用全等三角形的判定方法得出即可；
（2）首先求出CE與CF的長(zhǎng)，再利用勾股定理得出正方形的邊長(zhǎng)即可得出答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AB=AD，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

AB=AC AE=AF

，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF；

（2）解：在Rt△EFC中，
CE=CF=2sin45°=

2

，
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，則x²+（x-

2

）²=2²，
解得：x=

2 ± 6

2

（負(fù)數(shù)舍去），
正方形ABCD的周長(zhǎng)為：4×

2 + 6

2

=2

2

+2

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形以及等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和勾股定理等知識(shí)，得出EC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．