Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，AC∥x軸，A、B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，延長(zhǎng)CA交y軸于點(diǎn)D，AD=1．

（1）求該反比例函數(shù)的解析式；

（2）將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EBF，使點(diǎn)C落在x軸上的點(diǎn)F處，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)和點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) y=；(2) 旋轉(zhuǎn)角為120°, E點(diǎn)坐標(biāo)為（2+，）

【解析】

（1）設(shè)A（1，k），再表示出B（3，k-4），則利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到3（k-4）=k，解方程求出k即可得到該反比例函數(shù)的解析式；
（2）作BM⊥x軸于M，EN⊥x軸于N，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BF=BC=4，EF=AC=2，∠BFE=∠BCA=90°，∠CBF等于旋轉(zhuǎn)角，再計(jì)算出BM=CM-BC=2，則在Rt△BMF中，利用三角函數(shù)可求出∠MBF=60°，MF=,BM=，于是得到旋轉(zhuǎn)角為120°，然后證明Rt△BMF∽Rt△FNE，利用相似比求出FN和EN，從而可得到E點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）∵AC∥x軸，AD=1，

∴A（1，k），

∵∠C=90°，AC=2，BC=4，

∴B（3，k﹣4），

∵點(diǎn)B在y=的圖象上，

∴3（k﹣4）=k，解得k=6，

∴該反比例函數(shù)的解析式為y=；

（2）作BM⊥x軸于M，EN⊥x軸于N，如圖，

∵△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EBF，

∴BF=BC=4，EF=AC=2，∠BFE=∠BCA=90°，∠CBF等于旋轉(zhuǎn)角，

∵BC⊥x軸，A（1，6），

∴BM=CM﹣BC=6﹣4=2，

在Rt△BMF中，∵cos∠MBF===，

∴∠MBF=60°，MF=BM=，

∴∠CBF=180°﹣∠MBF=120°，

∴旋轉(zhuǎn)角為120°；

∵∠BFM+∠MBF=90°，∠BFM+∠EFN=90°，

∴∠MBF=∠EFN，

∴Rt△BMF∽Rt△FNE，

∴==，即==，

∴FN=1，EN=，

∴ON=OM+MF+FN=1++1=2+，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2+，）．