Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（6，0），點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，且△OBC為等邊三角形，直線BC交y軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作直線AE⊥BD于點(diǎn)E，交OC于點(diǎn)E

（1）求直線BD的解析式；（2）求線段OF的長(zhǎng)；（3）求證：BF＝OE．

Answer 1

【答案】（1）；（2）OF= 2；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）在Rt△ABD中，通過(guò)解直角三角形可求出OD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B，D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BD的解析式；

（2）由等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，可得出∠BAE=∠CFE=30°，進(jìn)而可得出∠OAF=∠OFA=30°，再利用等角對(duì)等邊可得出線段OF的長(zhǎng)；

（3）通過(guò)解含30度角的直角三角形可求出BE的長(zhǎng)，結(jié)合BC的長(zhǎng)可得出CE=OF=2，由OB=CO，∠BOF=∠OCE及OF=CE可證出△OBF≌△COE（SAS），再利用全等三角形的性質(zhì)可得出BF=OE．

（1）∵△OBC為等邊三角形，

∴∠ABC=60°．

在Rt△ABD中，tan∠ABD=，即，

∴AD=，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，）．

設(shè)BD的解析式是y=kx+b（k≠0），

將B（6，0），D（0，）代入y=kx+b，得：，

解得：，

∴直線BD的解析式為．

（2）解：∵AE⊥BC，△OBC是正三角形，

∴∠BAE=∠CFE=30°，

∴∠OAF=∠OFA=30°，

∴OF=OA=2，即OF的長(zhǎng)為2．

（3）證明：∵AB=8，∠OBC=60°，AE⊥BC，

∴BE=AB=4，

∴CE=BC-BE=6-4=2，

∴OF=CE．

在△OBF和△COE中，，

∴△OBF≌△COE（SAS），

∴BF=OE．