Question

如圖，四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，E是AD上一點，且是△ABC的內(nèi)心．求證：DB=DE=DC．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：證明題

分析：連結(jié)BE，如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，則∠2=∠CAD，∠3=∠4，根據(jù)圓周角定理得

BD

=

CD

，所以BD=CD，∠5=∠2，再利用三角形外角性質(zhì)得∠1=∠2+∠3，則∠1=∠5+∠4，即∠1=∠DBE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得DB=DE，于是得到DB=DE=DC．

解答：證明：連結(jié)BE，如圖，
∵E是AD上一點，且是△ABC的內(nèi)心，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠2=∠CAD，∠3=∠4，
∴

BD

=

CD

，
∴BD=CD，∠5=∠2，
∵∠1=∠2+∠3，
∴∠1=∠5+∠4，即∠1=∠DBE，
∴DB=DE，
∴DB=DE=DC．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．也考查了圓周角定理．