Question

已知拋物線y=ax²+bx+1經(jīng)過點A（1，3）和點B（2，1）．
（1）求此拋物線解析式；
（2）點C、D分別是x軸和y軸上的動點，求四邊形ABCD周長的最小值；
（3）①在拋物線AB段上存在一點E使△ABE的面積最大，求E點的坐標(biāo)；
②請直接寫出以A、B和在滿足①的條件中的E點為頂點的平行四邊形的第四個頂點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）取A關(guān)于y軸的對稱點A′，取B關(guān)于x軸的對稱點B′，根據(jù)軸對稱和兩點間線段最短可得：此時A′B′的長即為AD+CD+BC的最小值，易求得A′、B′的坐標(biāo)，即可得到線段A′B′的長，那么AB+A′B′即為四邊形ABCD的最小周長．
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，和A、B、E的坐標(biāo)即可求得．

解答：解：（1）依題意：

3=a+b+1 1=4a+2b+l

，
解得：

a=-2 b=4

，
∴拋物線的解析式為y=-2x²+4x+1；
（2）如圖，

點A（1，3）關(guān)于y軸的對稱點A′的坐標(biāo)是（-1，3），
點B（2，1）關(guān)于x軸的對稱點B′的坐標(biāo)是（2，-1），
由對稱性可知AB+BC+CD+DA=AB+B′C+CD+DA′≥AB+A′B′，
由勾股定理可求得AB=

5

，A′B′=5，
所以，四邊形ABCD周長的最小值是AB+A'B′=5+

5

；
（3）①∵A（1，3），B（2，1）．
∴直線AB的解析式為y=-2x+5，
∴直線方程為2x+y-5=0，
∵點E拋物線AB段上，
∴設(shè)E的坐標(biāo)為（m，-2m²+4m+1），
∴點E到直線AB的距離h=

|2m-2m2+4m+1-5|

22+12

=

|-2m2+6m-4|

5

，
∵1＜m＜2，
∴-2m²+6m-4＞0，
∴h=

-2m2+6m-4

5

，
∵AB=

5

，
∴△ABE的面積S=

1

2

AB•h=-m²+3m-2=-（m-

3

2

）²+

1

4

，
∴當(dāng)E點的橫坐標(biāo)為

3

2

時，△ABE的面積有最大值，
∴E點的坐標(biāo)為（

3

2

，

5

2

）；
②∵A（1，3），B（2，1）E（

3

2

，

5

2

），以A、B和在滿足①的條件中的E點為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴P1（

3

2

，

3

2

）  P2（

5

2

，

1

2

）  P3（

1

2

，

9

2

 ）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，軸對稱的性質(zhì)，點到直線的距離，函數(shù)的最大值以及平行四邊形的性質(zhì)等，根據(jù)性質(zhì)作出圖形是本題的關(guān)鍵．