Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC=∠ACD，∠B=∠D．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形； 
（2）若AB=3cm，BC=5cm，∠B=90°；點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以4cm/s的速度沿BA→AD→DC運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)點(diǎn)C時(shí)另一點(diǎn)就停止運(yùn)動(dòng)．問從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過多少時(shí)間，△BPQ的面積最大？

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)∠BAC=∠ACD，證明AB∥CD，然后證明△BAC≌△DCA得出AB=DC，最后根據(jù)對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證得；
（2）分三種情況討論求得．

解答：（1）證明：∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，
∵∠B=∠D，AC=CA，
∴△BAC≌△DCA，
∴AB=DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；


（2）設(shè)從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過t秒時(shí)，△BPQ的面積為S，
當(dāng)0≤t≤

3

4

時(shí)，如圖2①，S=

1

2

BQ•PB=

1

2

×4t×t=2t²，S的最大值為

9

8

；
當(dāng)

3

4

＜t2時(shí)，如圖2②，S=

1

2

（AP+BQ）•AB-

1

2

AP•AB=

1

2

（4t-3+t）×3-

1

2

（4t-3）×3=

3

2

t；S的最大值為3；
當(dāng)2＜t≤

11

4

時(shí)，如圖2③，S=

1

2

BQ•PC=

1

2

t（11-4t）=-2t²+

11

2

t；無最大值；
所以S=

2t2   (0≤t≤ 3 4 ) 3 2 t    ( 3 4 ＜t≤2) -2t2+ 11 2 t    (2＜t≤ 11 4 )

，
所以當(dāng)從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過2秒時(shí)，△BPQ的面積最大的，其值為3cm²．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、三角形的面積公式．能夠借助函數(shù)的知識(shí)討論圖形的面積最值問題．