Question

已知直線L₁∥L₂，直線L₃與直線L₁、L₂交與C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別是直線L₁和L₂上，且在直線L₃上同一側(cè)，點(diǎn)P是L₁上一動(dòng)點(diǎn)，不與兩點(diǎn)C、D重合．
（1）如果點(diǎn)P在線段C、D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（圖1），連接AP、BP，那么∠PAC、∠PBD、∠APB之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如果點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（備用圖），連接AP、BP，那么∠PAC、∠PBD、∠APB之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過(guò)P點(diǎn)做PM∥L₁，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可證得；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)P點(diǎn)做PM∥L₁，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可證得；當(dāng)點(diǎn)P在D點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，同（2）可證得．

解答：（1）解：如圖1可知∠APB=∠PAC+∠PBD．
證明：過(guò)P點(diǎn)做PM∥L₁．
∵L₁∥L₂，
∴PM∥L₁∥L₂，
∴∠APM=∠PAC，∠MPB=∠PBD，
∴∠APM+∠MPB=∠PAC+∠PBD．
∵∠APM+∠MPB=∠APB，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）解：當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，（備用圖1）
可得∠APB=∠PBD-∠PAC．
證明：過(guò)P點(diǎn)做PM∥L₁．
∵L₁∥L₂，
∴PM∥L₁∥L₂，
∴∠APM=∠PAC，∠MPB=∠PBD，
∴∠MPB-∠MPA=∠PBD-∠PAC，
∵∠MPB-∠MPA=∠APB，
∴∠APB=∠PBD-∠PAC；
當(dāng)點(diǎn)P在D點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，（備用圖2）
可得∠APB=∠PAC-∠PBD．
證明：過(guò)P點(diǎn)做PM∥L₁，
∵L₁∥L₂，
∴PM∥L₁∥L₂
∴∠APM=∠PAC，∠MPB=∠PBD，
∴∠MPA-∠MPB=∠PAC-∠PBD，
∵∠MPA-∠MPB=∠APB，
∴∠APB=∠PAC-∠PBD．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，正確作出輔助線，以及注意（3）中分情況討論是關(guān)鍵．