Question

已知：如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，點M恰在BC上．
（1）求證：AM⊥DM；
（2）若∠C=90°，求證：BM=CM；
（3）若M是BC的中點，猜想AD、AB、CD之間有何數(shù)量關系？請證明你的結論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由AB∥CD就可以得出∠CDA+∠DAB=180°，由角平分線的性質(zhì)就可以得出∠ADM=

1

2

∠ADC，∠DAM=

1

2

∠DAB，就可以求出∠AMD=90°而得出結論；
（2）如圖1，作ME⊥AD，由AB∥CD就可以得出∠B=90°，由交平分線的性質(zhì)就可以得出ME=MC．ME=MB而得出結論；
（3）如圖2，延長DM、AB相交于點F，則△DCM≌△FBM，就有DM=FM，CD=BF，由AM⊥DM得出AD=AF，由AF=AB+BF=AB+CD，進而得出AD=CD+AB．

解答：證明：（1）∵AB∥CD，
∴∠CDA+∠DAB=180°．
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，
∴∠ADM=

1

2

∠ADC，∠DAM=

1

2

∠DAB，
∴∠ADM+∠DAM=

1

2

（∠CDA+∠DAB）=

1

2

×180°=90°，
∴∠AMD=90°，
∴AM⊥DM；
（2）如圖1，作ME⊥AD，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠B=180°．
∵∠C=90°，
∴∠B=90°，
∴MC⊥CD，MB⊥AB．
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，
∴ME=MC．ME=MB，
∴BM=CM；
（3）AD=CD+AB．
理由：如圖2，延長DM、AB相交于點F，
∵M是BC的中點，
∴CM=BM．
∵AB∥CD，
∴∠C=∠B，∠CDM=∠F．
在△DCM和△FBM中，

∠C=∠B ∠CDM=∠F CM=BM

，
∴△DCM≌△FBM（AAS），
∴CD=BF，DM=FM．
∵AM⊥DM，
∴AD=AF．
∵AF=AB+BF，
∴AF=AB+CD，
∴AD=AB+CD．

點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)的運用，垂直平分線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，垂直的判定與性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．