Question

△ABC是等邊三角形，點A、B的坐標(biāo)分別為A（-2，0）B（0，0），將△ABC以1個單位長度/秒的速度向右平移得到△A₁B₁C₁．
（1）如圖1，經(jīng)過

 

秒，點C₁在y軸上，此時A₁C₁與BC交于點D，求兩個三角形重疊的三角形A₁BD的面積；
（2）如圖2，平移2秒后，連接AC₁，①設(shè)AC₁與CO交于點D，若點E為B₁C₁的中點，求DE的長；
②在平面內(nèi)找一點P，使得點A、B₁、C₁、P為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意和等邊三角形的邊長為2即可得出經(jīng)過1秒時點C₁在y軸上，求出三角形A₁DB的邊A₁B和高DE的長即可；
（2）①求出DE是三角形C₁AB₁的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理求出即可；
②根據(jù)平行四邊形的判定畫出符合條件的三個點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出即可．

解答：
解：（1）如圖1，連接CA₁，CC₁，過D作DE⊥軸于E，
根據(jù)題意得：AB=2，經(jīng)過1秒，平移的距離為1個單位長度，則AA₁=1，A₁B=CC₁=1，
即經(jīng)過1秒時，點C₁在y軸上，
∵△ABC是等邊三角形，經(jīng)過平移得到△A₁B₁C₁，
∴∠DA₁B=∠DBA₁=60°，
∴△A₁DB是等邊三角形，
∴A₁D=DB=A₁B=1，
在Rt△A₁DB中，A₁E=BE=

1

2

A₁B=

1

2

，
由勾股定理得：DE=

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
兩個三角形重疊的三角形A₁BD的面積是

1

2

×A₁B×DE=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，
故答案為：1；

（2）
①如圖2，∵∠AOC=∠B₁BC₁=60°，
∴∠COC₁=60°，
∴∠AOC=∠COC₁，
∵OA=OC₁，
∴D為AC₁的中點，
∵E為B₁C₁的中點，
∴DE=

1

2

AB₁=

1

2

×（2+2）=2；

②
如圖3，存在三種情況，P的坐標(biāo)為（-3，

3

）或（5，

3

）或（-1，-

3

）．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，用了分類討論思想，題目比較典型，綜合性比較強，有一定的難度．