【題目】在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D為AB邊的中點(diǎn),以D為直角頂點(diǎn)的Rt△DEF的另兩個(gè)頂點(diǎn)E,F分別落在邊AC,CB(或它們的延長(zhǎng)線(xiàn))上.
(1)如圖1,若Rt△DEF的兩條直角邊DE,DF與△ABC的兩條直角邊AC,BC互相垂直,則S△DEF+S△CEF=S△ABC,求當(dāng)S△DEF=S△CEF=2時(shí),AC邊的長(zhǎng);
(2)如圖2,若Rt△DEF的兩條直角邊DE,DF與△ABC的兩條直角邊AC,BC不垂直,S△DEF+S△CEF=S△ABC,是否成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)直接寫(xiě)出S△DEF,S△CEF,S△ABC之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖3,若Rt△DEF的兩條直角邊DE,DF與△ABC的兩條直角邊AC,BC不垂直,且點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,S△DEF+S△CEF=S△ABC是否成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)直接寫(xiě)出S△DEF,S△CEF,S△ABC之間的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1)4;(2)成立,理由詳見(jiàn)解析;(3)不成立,S△DEF﹣S△CEF=S△ABC.
【解析】
(1)證明DE是△ABC的中位線(xiàn),得出DEBC,AC=2CE,同理DF=AC,證出四邊形DECF是正方形,得出CE=DF=CF=DE,得出S△DEF=S△CEF=2=DEDF=DF2,求出DF=2,即可得出AC=2CE=4;
(2)連接CD,證明△CDE≌△BDF,得出S△CDE=S△BDF,即可得出結(jié)論;
(3)不成立;連接CD,同(2)得出△DEC≌△DBF,得出S△DEF=S五邊形DBFEC=S△CFE+S△DBC=S△CFE+S△ABC.
解:(1)∵∠ACB=90°,DE⊥AC,DF⊥BC,
∴四邊形DECF是矩形,
∵∠ACB=90°,
∴BC⊥AC,
∵DE⊥AC,
∴DE∥BC,
∵D為AB邊的中點(diǎn),
∴DE是△ABC的中位線(xiàn),
∴DE=BC,AC=2CE,
同理:DF=AC,
∵AC=BC,
∴DE=DF,
∴四邊形DECF是正方形,
∴CE=DF=CF=DE,
∵S△DEF=S△CEF=2=DEDF=DF2,
∴DF=2,
∴CE=2,
∴AC=2CE=4;
(2)S△DEF+S△CEF=S△ABC成立,理由如下:
連接CD;如圖2所示:
∵AC=BC,∠ACB=90°,D為AB中點(diǎn),
∴∠B=45°,∠DCE=∠ACB=45°,CD⊥AB,CD=AB=BD,
∴∠DCE=∠B,∠CDB=90°,S△ABC=2S△BCD,
∵∠EDF=90°,
∴∠CDE=∠BDF,
在△CDE和△BDF中,,
∴△CDE≌△BDF(ASA),
∴DE=DF.S△CDE=S△BDF.
∴S△DEF+S△CEF=S△CDE+S△CDF=S△BCD=S△ABC;
(3)不成立;S△DEF﹣S△CEF=S△ABC;理由如下:
連接CD,如圖3所示:
同(1)得:△DEC≌△DBF,∠DCE=∠DBF=135°,
∴S△DEF=S五邊形DBFEC,
=S△CFE+S△DBC,
=S△CFE+S△ABC,
∴S△DEF﹣S△CFE=S△ABC.
∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的關(guān)系是:S△DEF﹣S△CEF=S△ABC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠BAC=120°,AD平分∠BAC,且AD=AB,若∠EDF=60°,其兩邊分別交邊AB,AC于點(diǎn)E,F(xiàn).
(1)求證:△ABD是等邊三角形;
(2)求證:BE=AF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我們給出如下定義:順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.
(1)如圖1,四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).求證:中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)如圖2,點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且滿(mǎn)足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀,并證明你的猜想;
(3)若改變(2)中的條件,使∠APB=∠CPD=90°,其他條件不變,直接寫(xiě)出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀.(不必證明)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,.
求的取值范圍.
若,試說(shuō)明此方程有兩個(gè)負(fù)根.
在的條件下,若,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.
(1)畫(huà)出△ABC關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1,并寫(xiě)出A1、B1、C1的坐標(biāo).
(2)將△ABC向右平移6個(gè)單位,畫(huà)出平移后的△A2B2C2;
(3)觀(guān)察△A1B1C1和△A2B2C2,它們是否關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)?若是,請(qǐng)?jiān)趫D上畫(huà)出這條對(duì)稱(chēng)軸.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的一元二次方程
(1)若方程有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若方程兩實(shí)數(shù)根分別為,且滿(mǎn)足,求實(shí)數(shù)的值。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,正方形的位置如圖所示,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為.延長(zhǎng)交軸于點(diǎn),作正方形;延長(zhǎng)交軸于點(diǎn),作正方形,按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去,第個(gè)正方形(正方形看作第個(gè))的面積為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=∠ACB,又∠BDC=∠BCD,且∠1=∠2,求∠3的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,長(zhǎng)方形中,,,點(diǎn)在邊上,且,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),連接,將四邊形沿折疊,若點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好落在邊上,則的長(zhǎng)為____.
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