Question

【題目】如圖，將一張畫有內(nèi)切圓⊙P的直角三角形紙片AOB置于平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，3），B（4，0），⊙P與三角形各邊相切的切點(diǎn)分別為D、E、F． 將直角三角形紙片繞其右下角的頂點(diǎn)依次按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，第一次旋轉(zhuǎn)至圖①位置，第二次旋轉(zhuǎn)至圖②位置，…，則直角三角形紙片旋轉(zhuǎn)2018次后，它的內(nèi)切圓圓心P的坐標(biāo)為____．

Answer 1

【答案】(8075,1)

【解析】

旋轉(zhuǎn)后的三角形內(nèi)切圓的圓心分別為P1，P2，P3，過圓心作垂直于x軸，分別交x軸于點(diǎn)為E1，E2，E3，根據(jù)已知A(0,3)，B(4,0)，可求得AB長(zhǎng)度和三角形內(nèi)切圓的半徑，依次求出OE1，OE2，OE3，OE4，OE5，OE6的長(zhǎng)，找到規(guī)律，求得OE2018的長(zhǎng)，即可求得直角三角形紙片旋轉(zhuǎn)2018次后，它的內(nèi)切圓圓心P的坐標(biāo)．

如圖所示，旋轉(zhuǎn)后的三角形內(nèi)切圓的圓心分別為P1，P2，P3，過圓心作垂直于x軸，分別交x軸于點(diǎn)為E1，E2，E3

設(shè)三角形內(nèi)切圓的半徑為r

∵△AOB是直角三角形，A(0,3)，B(4,0)

∴

∵⊙P是△AOB的內(nèi)切圓

∴

即

∴r=1

∴BE=BF=OB-OE=4-1=3

∵△BO1A1是△AOB繞其B點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到

∴BE1=BF=3

∴OE1=4+3

∵A1E2=3-1=2

∴OE2=4+5+2

∴OE3=4+5+3+1

同理可推得OE4=4+5+3+4+3，OE5=4+5+3+4+5+2，OE6=4+5+3+4+5+3+1

2018÷3=6722

OE2018=672×(4+5+3)+(4+5+2)=8075

三角形在翻折后內(nèi)切圓的縱坐標(biāo)不變

∴P2018(8075,1)

故答案為：(8075,1)