【題目】如圖,直線y=x+cx軸交于點(diǎn)A3,0),與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B

1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式;

2Mm0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P,N

①點(diǎn)M在線段OA上運(yùn)動(dòng),若以B,PN為頂點(diǎn)的三角形與APM相似,求點(diǎn)M的坐標(biāo);

②點(diǎn)Mx軸上自由運(yùn)動(dòng),若三個(gè)點(diǎn)M,P,N中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)(三點(diǎn)重合除外),則稱M,PN三點(diǎn)為共諧點(diǎn).請(qǐng)直接寫(xiě)出使得M,PN三點(diǎn)成為共諧點(diǎn)m的值.

【答案】(1)拋物線解析式為y=x2+x+2;(2)①點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2.5,0)或(0);m的值為或﹣1或﹣

【解析】試題分析:(1)把A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式可求得c,則可求得B點(diǎn)坐標(biāo),由A、B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

2M點(diǎn)坐標(biāo)可表示P、N的坐標(biāo),從而可表示出MA、MPPN、PB的長(zhǎng),分NBP=90°BNP=90°兩種情況,分別利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于m的方程,可求得m的值;

m可表示出MP、N的坐標(biāo),由題意可知有P為線段MN的中點(diǎn)、M為線段PN的中點(diǎn)或N為線段PM的中點(diǎn),可分別得到關(guān)于m的方程,可求得m的值.

試題解析:解:

1x軸交于點(diǎn)A3,0),與y軸交于點(diǎn)B,0=﹣2+c,解得c=2,B02),拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)AB,,解得 ,拋物線解析式為

2由(1)可知直線解析式為,Mm,0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P,NPm, ),Nm ),PM=,PA=3m,PN==,∵△BPNAPM相似,且BPN=APM,∴∠BNP=AMP=90°NBP=AMP=90°,分兩種情況:

當(dāng)BNP=90°時(shí),則有BNMN∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為2, =2,解得m=0(舍去)或m=,M,0);

當(dāng)NBP=90°時(shí),則有A30),B0,2),Pm ),BP== ,AP= =3m),,解得m=0(舍去)或m=,M,0);

綜上可知當(dāng)以BP,N為頂點(diǎn)的三角形與APM相似時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,0)或(,0);

可知Mm0),Pm, ),Nm, ),M,P,N三點(diǎn)為共諧點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)、M為線段PN的中點(diǎn)或N為線段PM的中點(diǎn),當(dāng)P為線段MN的中點(diǎn)時(shí),則有2=,解得m=3(三點(diǎn)重合,舍去)或m=;

當(dāng)M為線段PN的中點(diǎn)時(shí),則有+=0,解得m=3(舍去)或m=1;

當(dāng)N為線段PM的中點(diǎn)時(shí),則有=2),解得m=3(舍去)或m=;

綜上可知當(dāng)M,P,N三點(diǎn)成為共諧點(diǎn)時(shí)m的值為或﹣1

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3)已知點(diǎn)在直線上,分別是,的中點(diǎn),根據(jù)條件,請(qǐng)補(bǔ)充完整圖形,并求的長(zhǎng),直接寫(xiě)出的長(zhǎng)存在的數(shù)量關(guān)系.

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