Question

已知拋物線C₁：y=a（x+1）²-2的頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過點(diǎn)B（-2，-1）．
（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線C₁的解析式；
（2）如圖1，將拋物線C₁向下平移2個(gè)單位后得到拋物線C₂，且拋物線C₂與直線AB相交于C，D兩點(diǎn)，求S_△OAC：S_△OAD的值；
（3）如圖2，若過P（-4，0），Q（0，2）的直線為l，點(diǎn)E在（2）中拋物線C₂對(duì)稱軸右側(cè)部分（含頂點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，直線m過點(diǎn)C和點(diǎn)E．問：是否存在直線m，使直線l，m與x軸圍成的三角形和直線l，m與y軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線m的解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,相似三角形的判定與性質(zhì),銳角三角函數(shù)的增減性

專題：壓軸題,存在型

分析：（1）由拋物線的頂點(diǎn)式易得頂點(diǎn)A坐標(biāo)，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可解決問題．
（2）根據(jù)平移法則求出拋物線C₂的解析式，用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再通過解方程組求出拋物線C₂與直線AB的交點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，就可以求出S_△OAC：S_△OAD的值．
（3）設(shè)直線m與y軸交于點(diǎn)G，直線l，m與x軸圍成的三角形和直線l，m與y軸圍成的三角形形狀、位置隨著點(diǎn)G的變化而變化，故需對(duì)點(diǎn)G的位置進(jìn)行討論，借助于相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的增減性等知識(shí)求出符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而求出相應(yīng)的直線m的解析式．

解答：解：（1）∵拋物線C₁：y=a（x+1）²-2的頂點(diǎn)為A，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，-2）．
∵拋物線C₁：y=a（x+1）²-2經(jīng)過點(diǎn)B（-2，-1），
∴a（-2+1）²-2=-1．
解得：a=1．
∴拋物線C₁的解析式為：y=（x+1）²-2．

（2）∵拋物線C₂是由拋物線C₁向下平移2個(gè)單位所得，
∴拋物線C₂的解析式為：y=（x+1）²-2-2=（x+1）²-4．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．
∵A（-1，-2），B（-2，-1），
∴

-k+b=-2 -2k+b=-1

解得：

k=-1 b=-3

∴直線AB的解析式為y=-x-3．
聯(lián)立

y=(x+1)2-4 y=-x-3

解得：

x=-3 y=0

或

x=0 y=-3

．
∴C（-3，0），D（0，-3）．
∴OC=3，OD=3．
過點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為E，
過點(diǎn)A作AF⊥y軸，垂足為F，
∵A（-1，-2），
∴AF=1，AE=2．
∴S_△OAC：S_△OAD
=（

1

2

OC•AE）：（

1

2

OD•AF）
=（

1

2

×3×2）：（

1

2

×3×1）
=2．
∴S_△OAC：S_△OAD的值為2．

（3）設(shè)直線m與y軸交于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，t）．
1．當(dāng)直線m與直線l平行時(shí)，則有CG∥PQ．
∴△OCG∽△OPQ．
∴

OC

OG

=

OP

OQ

．
∵P（-4，0），Q（0，2），
∴OP=4，OQ=2，
∴

3

OG

=

4

2

．
∴OG=

3

2

．
∵當(dāng)t=

3

2

時(shí)，直線m與直線l平行，
∴直線l，m與x軸不能構(gòu)成三角形．
∴t≠

3

2

．
2．當(dāng)直線m與直線l相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為H，
①t＜0時(shí)，如圖2①所示．
∵∠PHC＞∠PQG，∠PHC＞∠QGH，
∴∠PHC≠∠PQG，∠PHC≠∠QGH．
當(dāng)∠PHC=∠GHQ時(shí)，
∵∠PHC+∠GHQ=180°，
∴∠PHC=∠GHQ=90°．
∵∠POQ=90°，
∴∠HPC=90°-∠PQO=∠HGQ．
∴△PHC∽△GHQ．
∵∠QPO=∠OGC，
∴tan∠QPO=tan∠OGC．
∴

OQ

OP

=

OC

OG

．
∴

2

4

=

3

OG

．
∴OG=6．
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，-6）
設(shè)直線m的解析式為y=mx+n，
∵點(diǎn)C（-3，0），點(diǎn)G（0，-6）在直線m上，
∴

-3m+n=0 n=-6

．
解得：

m=-2 n=-6

．
∴直線m的解析式為y=-2x-6，
聯(lián)立

y=(x+1)2-4 y=-2x-6

，
解得：

x=-1 y=-4

或

x=-3 y=0

∴E（-1，-4）．
此時(shí)點(diǎn)E就是拋物線的頂點(diǎn)，符合條件．
∴直線m的解析式為y=-2x-6．
②當(dāng)t=0時(shí)，
此時(shí)直線m與x軸重合，
∴直線l，m與x軸不能構(gòu)成三角形．
∴t≠0．
③O＜t＜

3

2

時(shí)，如圖2②所示，
∵tan∠GCO=

OG

OC

=

t

3

＜

1

2

，
tan∠PQO=

OP

OQ

=

4

2

=2，
∴tan∠GCO≠tan∠PQO．
∴∠GCO≠∠PQO．
∵∠GCO=∠PCH，
∴∠PCH≠∠PQO．
又∵∠HPC＞∠PQO，
∴△PHC與△GHQ不相似．
∴符合條件的直線m不存在．
④

3

2

＜t≤2時(shí)，如圖2③所示．
∵tan∠CGO=

OC

OG

=

3

t

≥

3

2

，
tan∠QPO=

OQ

OP

=

2

4

=

1

2

．
∴tan∠CGO≠tan∠QPO．
∴∠CGO≠∠QPO．
∵∠CGO=∠QGH，
∴∠QGH≠∠QPO，
又∵∠HQG＞∠QPO，
∴△PHC與△GHQ不相似．
∴符合條件的直線m不存在．
⑤t＞2時(shí)，如圖2④所示．
此時(shí)點(diǎn)E在對(duì)稱軸的右側(cè)．
∵∠PCH＞∠CGO，
∴∠PCH≠∠CGO．
當(dāng)∠QPC=∠CGO時(shí)，
∵∠PHC=∠QHG，∠HPC=∠HGQ，
∴△PCH∽△GQH．
∴符合條件的直線m存在．
∵∠QPO=∠CGO，∠POQ=∠GOC=90°，
∴△POQ∽△GOC．
∴

OP

OG

=

OQ

OC

．
∴

4

OG

=

2

3

．
∴OG=6．
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，6）．
設(shè)直線m的解析式為y=px+q
∵點(diǎn)C（-3，0）、點(diǎn)G（0，6）在直線m上，
∴

-3p+q=0 q=6

．
解得：

p=2 q=6

．
∴直線m的解析式為y=2x+6．
綜上所述：存在直線m，使直線l，m與x軸圍成的三角形和直線l，m與y軸圍成的三角形相似，
此時(shí)直線m的解析式為y=-2x-6和y=2x+6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，考查了三角形相似的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義及增減性等知識(shí)，考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式，考查了通過解方程組求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，強(qiáng)化了對(duì)運(yùn)算能力、批判意識(shí)、分類討論思想的考查，具有較強(qiáng)的綜合性，有一定的難度．