Question

如圖，OE是⊙O的半徑，弦AB垂直平分OE，點D是

AEB

上一點（與端點A，B不重合），以點D為圓心的⊙D與AB相切，過點A，B分別作⊙D的切線，兩條切線相交于點C，點P，Q，R為切點．
（1）求∠ACB的度數(shù)；
（2）若⊙O半徑為6，⊙D半徑為2，求△ABC的周長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接DA、DB、OA、OB，則由條件可知AD、BD分別平分∠BAC和∠ABC，則可得∠ACB=180°-2（∠BAD+∠ABD）=180°-∠AOB，由條件可求得∠AOB=120°，可求得∠ACB；
（2）由⊙O半徑為6，可求得AB的長，由⊙D半徑為2，可求得CD和CR的長，則可求得△ABC的周長為2AB+2CQ，計算即可．

解答：解：（1）如圖1，連接DA、DB、OA、OB、OD，

由題可知D為△ABC的內(nèi)心，
∴AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-2（∠DAB+∠DBA），
∵OE是⊙O的半徑，弦AB垂直平分OE，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOB=120°，
且∠DOB=2∠DAB，∠BOA=2∠DBA，
∴∠ACB=180°-2（∠DAB+∠DBA）=180°-∠AOB=60°；
（2）如圖2，連接CD，

由（1）可知∠AOE=∠BOE=60°，且OA=OB=6，
∴AB=6

3

，
在Rt△DQC中，DQ=2，∠DCQ=

1

2

∠ACB=30°，
∴CQ=2

3

，
又∵AB、AC、BC都為切線，
∴AP=AQ，BP=BR，CQ=CR，
∴AB+AC+BC=AB+AQ+BR+CQ+CR=2AB+2CQ=12

3

+4

3

=16

3

，
即△ABC的周長為16

3

．

點評：本題主要考查切線的性質(zhì)及圓周角定理、切線長定理，由條件得到D為△ABC的內(nèi)心是解題的關(guān)鍵，注意角平分線和切線長定理的應(yīng)用．