Question

【題目】我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．例如圖1，圖2，圖3中，，是的中線，，垂足為．像這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)，，．

特例探索：

（1）①如圖1，當(dāng)，時(shí)，_________，________；

②如圖2，當(dāng)，時(shí)，求和的值．

歸納證明：

（2）請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式．

（3）利用（2）中的結(jié)論，解答下列問題：在邊長(zhǎng)為3的菱形中，為對(duì)角線，的交點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，分別交于點(diǎn)，，如圖4所示，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①，；②，；（2）；（3）

【解析】

（1）①在圖1中，連接EF，三角形中位線定理和相似得到，，根據(jù)等腰直角三角形可得，利用勾股定理即可求解；②在圖2中，根據(jù)含30°直角三角形可得，，利用勾股定理即可求解.

（2）三角形中位線定理和相似得到，，結(jié)合勾股定理，即可求解；

（3）證明：，，則，即可求解．

解：如圖1、2、3、4，連接，則是的中位線，

則，，，

①，

（1）如圖1，在直角三角形能ABP中，，

∴，

；

②在圖2中，在直角三角形能ABP中，，,

∴

則，；

（2）關(guān)系為：，

證明：如圖3，由①得：，，

則；

（3）在菱形中,分別為線段，的中點(diǎn)

，，

，則，

同理，，

，

，，

，，

同理：，

則．