【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn),與y軸相交于(0, ),點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,2),點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)C在x軸的正半軸上.
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點(diǎn)F為線段AC上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)F作FE⊥x軸,FG⊥y軸,垂足分別為點(diǎn)E,G,當(dāng)四邊形OEFG為正方形時(shí),求出點(diǎn)F的坐標(biāo);
(3)將(2)中的正方形OEFG沿OC向右平移,記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG,當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)平移的距離為t,正方形的邊EF與AC交于點(diǎn)M,DG所在的直線與AC交于點(diǎn)N,連接DM,是否存在這樣的t,使△DMN是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+;(2)(1,1);(3)當(dāng)△DMN是等腰三角形時(shí),t的值為,3﹣或1.
【解析】試題分析:(1)易得拋物線的頂點(diǎn)為(0,),然后只需運(yùn)用待定系數(shù)法,就可求出拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式;
(2)①當(dāng)點(diǎn)F在第一象限時(shí),如圖1,可求出點(diǎn)C的坐標(biāo),直線AC的解析式,設(shè)正方形OEFG的邊長為p,則F(p,p),代入直線AC的解析式,就可求出點(diǎn)F的坐標(biāo);②當(dāng)點(diǎn)F在第二象限時(shí),同理可求出點(diǎn)F的坐標(biāo),此時(shí)點(diǎn)F不在線段AC上,故舍去;
(3)過點(diǎn)M作MH⊥DN于H,如圖2,由題可得0≤t≤2.然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2,分三種情況(①DN=DM,②ND=NM,③MN=MD)討論就可解決問題.
試題解析:(1)∵點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn),
∴拋物線的對(duì)稱軸為y軸,
∴拋物線的頂點(diǎn)為(0,),
故拋物線的解析式可設(shè)為y=ax2+.
∵A(﹣1,2)在拋物線y=ax2+上,
∴a+=2,
解得a=﹣,
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為y=﹣x2+;
(2)①當(dāng)點(diǎn)F在第一象限時(shí),如圖1,
令y=0得,﹣x2+=0,
解得:x1=3,x2=﹣3,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0).
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n,
則有,
解得,
∴直線AC的解析式為y=﹣x+.
設(shè)正方形OEFG的邊長為p,則F(p,p).
∵點(diǎn)F(p,p)在直線y=﹣x+上,
∴﹣p+=p,
解得p=1,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,1).
②當(dāng)點(diǎn)F在第二象限時(shí),
同理可得:點(diǎn)F的坐標(biāo)為(﹣3,3),
此時(shí)點(diǎn)F不在線段AC上,故舍去.
綜上所述:點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,1);
(3)過點(diǎn)M作MH⊥DN于H,如圖2,
則OD=t,OE=t+1.
∵點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng),∴0≤t≤2.
當(dāng)x=t時(shí),y=﹣t+,則N(t,﹣t+),DN=﹣t+.
當(dāng)x=t+1時(shí),y=﹣(t+1)+=﹣t+1,則M(t+1,﹣t+1),ME=﹣t+1.
在Rt△DEM中,DM2=12+(﹣t+1)2=t2﹣t+2.
在Rt△NHM中,MH=1,NH=(﹣t+)﹣(﹣t+1)=,
∴MN2=12+()2=.
①當(dāng)DN=DM時(shí),
(﹣t+)2=t2﹣t+2,
解得t=;
②當(dāng)ND=NM時(shí),
﹣t+=,
解得t=3﹣;
③當(dāng)MN=MD時(shí),
=t2﹣t+2,
解得t1=1,t2=3.
∵0≤t≤2,∴t=1.
綜上所述:當(dāng)△DMN是等腰三角形時(shí),t的值為,3﹣或1.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,過點(diǎn)C的直線MN∥AB,D為AB邊上一點(diǎn),過點(diǎn)D作DE⊥BC,交直線MN于E,垂足為F,連接CD、BE.
(1)求證:CE=AD;
(2)當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí),四邊形BECD是什么特殊四邊形?說明你的理由;
(3)若D為AB中點(diǎn),則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí),四邊形BECD是正方形?請(qǐng)說明你的理由.
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【題目】已知,如圖,B,C兩點(diǎn)把線段AD分成2:5:3三部分,M為AD的中點(diǎn),BM=6cm,求CM和AD的長.
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【題目】一組數(shù)據(jù)5,-2,3,x,3,-2,若每個(gè)數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù),則這組數(shù)據(jù)的極差是________.
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【題目】把拋物線y=﹣x2向左平移1個(gè)單位,然后向上平移3個(gè)單位,則平移后拋物線的解析式為( )
A. y=﹣(x﹣1)2﹣3 B. y=﹣(x+1)2﹣3 C. y=﹣(x﹣1)2+3 D. y=﹣(x+1)2+3
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【題目】下列命題中,正確的是( 。
A. 平行四邊形的對(duì)角線相等
B. 矩形的對(duì)角線互相垂直
C. 菱形的對(duì)角線互相垂直且平分
D. 對(duì)角線相等的四邊形是矩形
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